23
欧拉公式
2n2EI
Fcr l 2
w x Asin nπx
l
屈 曲 模 态
n=1
n=2
n=3
n=4
不同屈曲模态对应的临界载荷不一样
24
结论
对两端铰支的等截面细长 中心受压直杆临界压力
Байду номын сангаас
Pcr

2EI
l2
---欧拉公式
13岁巴塞尔大学，15岁毕业， 16岁获硕士学位
空
弹
气
道
动
学
第十一章 压杆稳定问题
主 讲人： 张能辉
1
压杆稳定性概念
2
工程实例
1995年韩国汉城三丰百货大楼，立柱失稳破坏 死502人，伤930人，失踪113人
3
工程实例
2010年智利地震中剪力墙破坏，纵筋屈曲
4
工程实例
2013年四川庐山空间钢网架震害，连杆屈曲
5
工程实例
高压输电线路保持 相间距离受压构件
Pcr
min 1 n
Pcrn
Pcr1
l2
22
0 A＋1 B 0 sinkl A coskl B 0
此时直杆挠曲线 w(x) Asin x l
B0
Pcr
A
ld
其中A为待定常数，代表中点挠度 B
表明屈曲挠度是不确定的量 与模型假设压杆处于任意微弯状态一致
A xw Pcr
l
M(x) m
压力Pcr取正值 位移w(x)以沿y轴正向为正
内力是在变形前/后位置求解?
x
B
y
Pcr
挠度向下为正，与前面坐标轴不一样
19
将M(x)代入挠曲轴微分方程
d2w EI dx2 M (x) Pcrw(x) 令 k 2 Pcr
EI
xv Pcr
M(x) m
x
则挠曲轴微分方程变为
B'
原因：缺陷敏感性
d
若只关心临界载荷，则采用线性理论
(较好描述临界载荷，但无法扑捉屈曲状态)
若还关心屈曲状态，则采用非线性理论
30
思考题
√
Fcr

2n2EI
l2
空间失稳的取向性
31
不同约束下压杆临界力的 欧拉公式 • 压杆长度系数
32
问题1
下端固定, 上端自由 在上端承受轴向压力作用
P P
Q
P
P
13
撤去干扰Q后
P 若弯曲变形消失， 杆恢复到原来的直线平衡 状态，则称杆的直线平衡态是稳定的平衡态 若弯曲变形不能消失，杆不能保持直线状态， 则称杆的直线平衡态是不稳定的平衡态
直线平衡态由稳定平衡转化为不稳定平衡时 所受的轴向压力称为杆的临界压力
14
P Q
当P较小
P
P Q
当P较大
P
d 2 2l
P 1 P
Pcr
1 1
2

Pcr
1
P
A
B
Pcr
d
载荷位移图
只有当P >Pcr时，压杆才可能存在非直线的平衡态，
即直杆失稳，挠度d 与压力P之间存在一对一关系
不存在随遇平衡状态！！！
29
线性理论、非线性理论
与实际压杆比较
P
B
Pcr A
实际临界载荷小于理论预测
y
d2w dx2

k
2
w(
x)

0
Pcr
这是一个二阶线性齐次常微分方程
20
微分方程通解 w ( x ) A s in k x B c o s k x A、B和k为待定常数
边界条件 x 0,l, w(x) 0
A
0 A＋1 B 0
sinkl A coskl B 0
B
由线性代数知，使A、B不全为零的条件
01
0
sinkl coskl
21
由行列式为零，得 sin kl 0
kl n (n 1, 2,3, )
k 2 Pcr EI
n2 2EI
Pcrn l 2
(n 1, 2,3, )
Pcrn中最小值称为直杆临界压力，记为Pcr
2EI
则称中心受压细长直杆稳定性
问题为线弹性稳定性问题
w Pcr P
17
问题
等截面细长直杆 两端铰支，长度l , 在临界压力Pcr作用下 直杆失稳 即产生微弯状态
求杆件临界载荷Pcr
Pcr A
l B
思路：微弯状态~挠度~挠曲轴近似微分方程
18
求解
Pcr
设失稳后轴线的挠度w(x) 则任一横截面上弯矩
M (x) Pcr w(x)
内燃机挺杆 油缸中活塞杆
6
工程实例
压杆
压杆
共同特点 细长压杆受力过大后造成一种新的破坏形式
7
实验现象 (1)粗短压杆 塑性材料(Steel)
脆性材料(Iron)
压力增加
压力增加
强度问题
8
(2)扭转轴
强度满足情况下 变形不能过大
刚度问题
变形特点：连续性
9
(3)细长压杆
P
P<Pcr
P
P
P
P>Pcr
P
稳定性问题
P
变形特点：突发性
10
细长压杆弯曲原因---缺陷
• 在杆件轴向压缩变形过程中，
往往伴随着横向弯曲变形 几何缺陷
实际压杆轴线存在着初始曲率
载荷缺陷
外力作用线也不与杆件轴线重合
材料缺陷
材料达不到理想的均匀性
11
如果杆件抗弯刚度较大，且轴 向压力在一定范围内，杆件的 变形可分别由杆件压缩和弯曲 变形叠加而得到——组合变形
力
学
25
稳定性问题在数学上归结为什么问题？
d2w dx2

k
2w(x)

0
x 0, w(x) 0, x l, w(x) 0
Pcr A
ld
归结为求齐次线性代数方程组非零解
B
26
随遇平衡问题
稳定平衡：微扰撤销后， 小球回到原平衡位置
不稳定平衡：微扰撤销后， 小球远离原来平衡位置
小
撤去干扰Q 稳定的
稳
P定
P
的
临界压力 Pcr
P
不
稳
撤去干扰Q
不稳定的
定
的
大
P
临界压力: 保持直线状态的最大压力 维持曲线状态的最小压力
15
细长中心受压直杆 临界力的欧拉公式
16
压杆线弹性稳定性问题
在临界力作用下中心受压细长 直杆处于不稳定平衡直线形态
如果此时材料仍处于理想线弹 性范围内(即胡克定理成立)，
轴向压力逐渐增大，轴向压力 对杆件弯曲变形影响不可忽略; w 现在 当轴向压力达到某一特定值时， 以前 杆件变形极度增大，导致受压 杆件丧失承载能力
Pcr P
12
受压杆件理想力学模型
李雅普诺夫观点
受轴向压力P作用一理想直杆， 则其直线形态是一个平衡态
假想微小干扰Q作用(替代缺陷) ， 则在力P和Q作用下， 直杆发生压缩和弯曲组合变形
随遇平衡：微扰撤销后， 小球在任意平衡位置
27
临界压力Pcr下，直杆失稳挠曲线
w(x) d sin x
l
d 未知量， 小量即可
表明在线性弹性稳定性理论范畴， 受压直杆在临界压力处是随遇平衡
实际这种随遇平衡状态时不存在 不合理原因：采用近似线性理论
Pcr A ld B
28
非线性弹性稳定性理论