∂T ∂t
⎤ ⎥dxdy ⎦
=0
式中，D为平面温度场的定义域，Wl 为加权函数
Wl
为加权函数，Wl
=
∂T~ ∂T l
(l
= 1,2,..., n)
2
内部单元
单元的变分计算
∫∫ ∂J e
∂Tl
=
e
⎡ ⎢Wl ρcp ⎣
∂T ∂t
+
λ
⎜⎜⎝⎛
∂Wl ∂x
∂T ∂x
+ ∂Wl ∂y
∂T ∂y
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤dxdy
已知： 三个顶点坐标，是划分单元时定下来的。 求解： 三角形中任一点（x,y）的温度T，用三个节点温度表示.
温度场的离散化，在于为单元设置试探函数。对三 角形单元通常假设单元中温度T是x和y的线性函数。
T = a1 + a2 x + a3 y 式中的 a1, a2 , a3 是待定系数，可用节点上的温度值来 表达。 节点的温度可以表示为 Ti = a1 + a2 xi + a3 yi
( )( ) 解方程得到：
a1
=
2
1 bic j − bjci
aiTi + a jTj + amTm
( )( ) a2
=
2
1 bic j − bjci
biTi + bjTj + bmTm
( )( ) a3
=
2
1 bic j − bjci
biTi + bjTj + bmTm
代入试探函数 T = a1 + a2 x + a3 y 得到
温
度
2⎩⎨⎧ ∂∂Tt
⎫ ⎬ ⎭t
+
⎧ ∂T
⎨ ⎩
∂t
⎫ ⎬ ⎭t − Δt
=
3 Δt
({T }t
− {T}t−Δt )
场 有 限
元
整理后得到方程为
计
算
⎜⎛ 2[k]+⎞{T
⎠
}t
=
⎜⎛ ⎝
3 Δt
[c]
−
[k
]⎟⎞{T
⎠
}t
−Δt
框 图
ANSYS简介
ANSYS 软件是以有限元分析为基础的，由位 于美国宾夕法尼亚州的ANSYS公司开发，于1970 年由John Swanson博士创建。 主要特点： ¾强大而广泛的分析功能：可广泛应用于求解结 构、热、流体、电磁、声学等多物理场及多场耦 合的线性、非线性问题。 ¾一体化的处理技术：几何模型的建立、自动网 格划分、求解、后处理、优化设计等许多功能及 实用工具。 ¾可应用于各种工业领域，如航空、航天、船舶、 汽车、兵器、铁道、机械、电子、建筑、能源、 医疗等。
条件准备 模型建立 求解 后处理
例2： 已知：16Mn圆棒，直径60mm，初始温度为860℃，进 行热处理，已知圆棒表面换热系数为2000 W/(m2.k)， 密度为7850 kg/m3，导热系数40 W/(m.k) ，比热550 J/(kg.k)。
计算：经过20s冷却后，钢棒表面温度以及钢棒表面温 度随时间变化的历程曲线。
∂2T ∂x 2
+
∂2T ∂y2
⎟⎟⎠⎞ − ρcp
∂T ∂t
=
0
取插值函数 T~(x, y,t) = T~(T1,T2 ,...,Tn ) ，式中 T1,T2 ,...,Tn
为n个待定系数。
伽辽金方法（Galerkin method）
由俄罗斯数学家鲍里斯·格里戈里耶维奇·伽辽金发 明的一种数值分析方法。
有限元法的求解步骤
有限元方法的基础思想是化整为零，分散分析，再集 零为整。 1、结构物的离散化
将整个结构划分为有限个单元，单元与单元之间、单 元与边界之间通过结点连接。 2、进行单元分析
将离散化后的每个单元看作一个研究对象，研究结点 坐标与结点温度之间的关系。 3、整体分析
将各单元集合成整体结构，建立整个结构结点平衡的 方程组，引入结构的边界条件，对方程组进行求解，得出 各单元的温度。
主要内容
•有限元法求解温度场
¾有限元法求解温度场原理 ¾ANSYS进行温度场的求解步骤
•有限差分法求解温度场
2.2 有限单元法求解温度场
有限元方法:将复杂的连续体划分为有限多个简 单的单元体，将连续场函数的微分方程的求解问 题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。
有限单元法发展历史
•早在公元3世纪，我国数学家刘徽（《九章算术注》） 提出用割元法求圆周长的方法就是有限元基本思想的 体现。
Tj = a1 + a2 x j + a3 y j Tm = a1 + a2 xm + a3 ym 为了书写方便，令 ai = x j ym − xm y j bi = x j − ym ci = xm − y j a j = xm yi − xi ym bj = xm − yi c j = xi − ym am = xi y j − x j yi bm = xi − y j cm = x j − yi
[C] 主要包括 ρcp 、坐标值
单元矩阵的总体合成
将每个单元的刚度矩阵中的元素置于总体 刚度矩阵的相应位置上，将总刚同一位置的各
元素相加，最后形成总刚矩阵。
合成后的变分方程为
[k
]{T }+
[c]⎩⎨⎧∂∂Tt
⎫ ⎬ ⎭
=
0
上式为n个节点微分方程组。
上式是微分方程组，仍不便求解，需进行时
间上的离散，用Galerkin（伽略金）差分格式
初始条件
计算器设置
计算
计算结果处理
7
计算结果处理
温度云图
温度曲线
温度曲线
温度曲线
温度曲线
8
温度曲线 温度值 动画显示
温度曲线 温度值 保存数据
9
利用ANSYS进行温度场计算的步骤：
•定义计算单元 •定义材料参数 •建立几何模型 •划分网格 •定义初始条件 •设置边界条件 •设置求解参数 •求解 •结果后处理
假设：钢板长度和宽度远大于其厚度，近似看作一块 无限大平板，将中厚板简化为二维模型，模拟其宽度 和厚度平面上的温度场分布。
进入Ansys系统
Ansys界面
分析类型
单元类型
4
参数设定 模型建立 网格划分
参数设定
网格划分
5
网格划分 网格划分 分析类型
网格划分 网格划分 边界条件施加
6
边界条件施加
边界条件施加
整圆模型
¼圆模型
例3： 已知：16Mn钢板，厚30mm，宽度1m，长度20m，钢 板初始温度为860℃，将钢板放到高密集管流冷却设备 上进行冷却，已知表面换热系数为2000 W/(m2.k)，冷 却20s后，放入空气中进行空冷20s，空冷换热系数为30 W/(m2.k)，钢板密度为7850 kg/m3，导热系数40 W/(m.k) ，比热550 J/(kg.k)。
ANSYS功能模块
模块名称 Multiphysics Emag FLOTRAN Mechanical LS-DYNA Thermal Structural
主要功能和适用领域 包括所有工程学科的所有性能 分析电磁学问题 ANSYS计算流体动力学 ANSYS机械－结构及热分析 高度非线性结构问题 分析热问题 分析结构问题
[ ( ) ] T =
1
( ) 2 bic j − bjci
(ai + bi x + ci y)Ti + a j + bj x + c j y Tj + (am + bm x + cm y)Tm
通常简写为 T = NiTi + N jTj + NmTm
平面温度场的变分方程
1、平面瞬态温度场微分方程为：λ⎜⎜⎝⎛
计算：钢板表面温度和心部温度以及钢板表面温度和心 部温度随时间变化的历程曲线。
分析类型
10
初始条件 第一边界条件
初始条件 第一边界条件
第一时间参数
第一计算条件写入文件
11
删除第一边界条件
第二边界条件
第二时间参数
第二计算条件写入
计算
结果后处理
12
温度计算结果
温度计算结果
温度曲线显示
温度曲线显示
温度数值显示
2.2.1 有限单元法求解温度场原理
泛 函：函数中的变量是用函数表示的。 变分法：泛函求驻值的方法称为变分法。
1
在泛函中引入试探函数，其形式为
y = a1 y1 + a2 y2 + ... + an yn
式中的 a1, a2 ,..., an 是待定系数，y1, y2 ,..., yn为一些具 有良好微分性质的多项式。
其他说明 ANSYS产品的“旗舰”
包括结构及热分析 包括结构分析
3
ANSYS主要功能
1、结构分析 用于确定结构的变形、应变、应力及反作用力等。 2、热分析 ¾ 计算物体的稳态或瞬态温度分布，以及热量的 获取或损失、热梯度、热通量等。 ¾热分析之后往往进行结构分析，计算由于热膨 胀或收缩不均匀引起的应力。 3、电磁分析 用于计算磁场，考虑的物理量包括磁通量密度、 磁场密度、磁力、磁力矩、电感、涡流等。
刘徽在割圆术中提出"割之 弥细，所失弥少，割之又 割以至于不可割，则与圆 合体而无所失矣"。
•1960年，美国科学家克拉夫首先提出了有限元 法,为把连续体力学问题化作离散的力学模型开 拓了宽广的途径。此后大量学者开始用这一离 散方法来处理结构分析、流体分析、热传导等 问题。
•随着有限元方法不断发展和完善，目前已成为 一门成熟的学科，成为了科技工作者解决实际 问题的有力工具。