高考数学新版一轮复习教程学案____第16课__常见曲线的参数方程____1. 理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义．1. 阅读：选修44第42～47页．基础诊断1.方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t为参数)表示的曲线是________________________________________________________________________．2. 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的公共点的个数为________．3. 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 为参数)，且0≤t ≤5表示的曲线是________．(填序号)①线段；②双曲线；③圆弧；④射线．4. 直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标为________．考向例1 (1) 将参数方程⎩⎨⎧x ＝2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝4⎝⎛⎭⎫t －1t (t 为参数)化为普通方程；(2) 将参数方程⎩⎨⎧x ＝2sin θ，y ＝1＋2cos 2θ(θ为参数)化为普通方程．在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上求一点，使它到直线C 2：⎩⎨⎧x ＝－22＋12t ，y ＝1－12t (t为参数)的距离最小，并求出该点的坐标和最小距离．考向例2 已知直线l 经过点P(1，1)，倾斜角α＝π6.(1) 写出直线l 的参数方程；(2) 设直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，求点P 到A 、B 两点的距离之积．点P(x ，y)是椭圆2x 2＋3y 2＝12上的一个动点，求x ＋2y 的最大值．考向例3 已知P(x ，y)是圆x ＋y ＝2y 上的动点． (1) 求2x ＋y 的取值范围；(2) 若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．自测反馈1. P(x ，y)是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为________．2. 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝t ＋1(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长等于________．3. 若P 为曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)上一点，则点P 与坐标原点的最短距离为________．4. 曲线C: ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程是________________________，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0 有公共点，那么实数a 的取值范围是________．1. 参数方程化为普通方程的关键是消参数：一要熟练掌握常用技巧(如整体代换)；二要注意变量取值范围的一致性，这一点最易被忽视．2. 解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁？代表的几何意义是什么？其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径．3. 写出直线，圆，椭圆的参数方程：________________________________________________________________________.第16课 常见曲线的参数方程基础诊断1. 一条射线 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)，得y ＝33x ，x ≥0，故该参数方程对应的曲线为一条射线．2. 2 解析：直线的普通方程为y ＝12x ，曲线的普通方程为(x －2)2＋y 2＝1，则该曲线是以点(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为圆心到直线的距离d ＝|1|⎝⎛⎭⎫122＋12＝255<1，所以直线与曲线的公共点的个数为2.3. ① 解析：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧t 2＝x －23，t 2＝y ＋1(t 为参数)，则x －23＝y ＋1，即x －3y －5＝0，又0≤t ≤5，所以该曲线为线段，故选①.4. (3，－3) 解析：由⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫－33＋32t 2＝16，得t 2－8t ＋12＝0，t 1＋t 22＝－－81×12＝4，所以AB 中点为⎩⎨⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4，即⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－3，故AB 的中点坐标为(3，－3)．范例导航例1 解析：(1) 方法一：因为⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2－⎝⎛⎭⎫t －1t 2＝4，所以⎝⎛⎭⎫x 22－⎝⎛⎭⎫y42＝4，化简得普通方程为x 216－y 264＝1.方法二：因为⎩⎨⎧x ＝2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝4⎝⎛⎭⎫t －1t (t 为参数)，所以t ＝2x ＋y 8，1t ＝2x －y8，相乘得()2x ＋y ()2x －y 64＝1，化简得普通方程为x 216－y 264＝1.(2) 由⎩⎨⎧x ＝2sin θ，y ＝1＋2cos 2θ(θ为参数)，①②因为θ∈R ，所以－1≤sin θ≤1，则－2≤x ≤ 2.由①两边平方得x 2＝2sin 2θ，③ 由②得y －1＝2cos 2θ，④由③＋④得x 2＋y －1＝2，即y ＝－x 2＋3(－2≤x ≤2)， 故普通方程为y ＝－x 2＋3(－2≤x ≤2)．注：将参数方程化为普通方程，就是将其中的参数消掉，可以借助于三角函数的平方关系，因此想到把①两边平方，然后和②相加即可，同时求出x 的取值范围．【教学处理】1. 参数方程的教学要求不要拔高．参数方程与普通方程互相转化时特别要注意等价性，本题是直线与圆的位置关系．2. 本题也可通过画图来解．解析：直线C 2化成普通方程是x ＋y ＋22－1＝0，设所求的点为P (1＋cos θ，sin θ)，则点P 到直线C 2的距离d ＝|1＋cos θ＋sin θ＋22－1|2＝ |sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋2|. 当θ＋π4＝3π2＋2k π，k ∈Z ，即θ＝5π4＋2k π，k ∈Z 时，d 取最小值1，此时，点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫1－22，－22. 例2 【教学处理】要给学生尝试解题的时间，再指名学生回答，教师点评并板书． 解析：(1) 直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t(t 为参数)．(2) 将直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t(t 为参数)代入x 2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＝4，化简得t 2＋(3＋1)t －2＝0，故t 1t 2＝－2，则点P 到A 、B 两点的距离之积为2.解析：将椭圆2x 2＋3y 2＝12化为x 26＋y 24＝1，设x ＝6cos θ，y ＝2sin θ， x ＋2y ＝6cos θ＋4sin θ＝22(622cos θ＋422sin θ)＝22sin ()θ＋α≤22，其中tan α＝64， 故x ＋2y 的最大值为22.例3 解析：(1) 由题意得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，所以2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin (θ＋φ)＋1，其中tan φ＝2，所以－5＋1≤2x ＋y ≤5＋1.(2) x ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0，所以a ≥－cos θ－sin θ－1＝－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－1， 所以a ≥2－1.自测反馈1. 36 解析：因为曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，所以(x －5)2＋(y ＋4)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2＝1＋9＋16－6cos θ＋8sin θ＝26－10sin (α－θ)，故(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为36.2. 1255 解析：把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝t ＋1(t 为参数)代入圆x 2＋y 2＝9，得(2t －1)2＋(t ＋1)2＝9，化简得5t 2－2t －7＝0，故t 1＋t 2＝25，t 1t 2＝－75，所以(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝14425，所以直线被圆截得的弦长为5（t 1－t 2）2＝1255.3. 2－1 解析：将题目中参数方程化为普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即该曲线表示以(1，1)为圆心，1为半径的圆，所以点P 到原点最短距离为（0－1）2＋（0－1）2－1＝2－1.4.x 2＋(y ＋1)2＝1[1－2，1＋2] 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ，sin θ＝y ＋1(θ为参数)，所以x 2＋(y ＋1)2＝1.曲线C 是以(0，－1)为圆心，1为半径的圆，圆心到直线x ＋y ＋a ＝0的距离为|－1＋a|2，又因为曲线与直线有公共点，则0≤|－1＋a|2≤1，即1－2≤a ≤1＋ 2.。