数学选择题的利与弊有多大
选择题优点与缺点的定量分析
陈碧芳 (浙江省嘉兴卫生学校 314001) 数学选择题作为测试题的题型,现已广泛运
用于各种测试场合,以选择题为代表的客观试题
与以解答题为代表的主观试题一样,都有利弊.解
答题历史悠久,选择题历史短暂而一直受到人们
的关注,选择题利大于弊还是弊大于利,人们的看
法各异,那么选择题的利与弊究竟有多大,这就需
要用统计学、概率论的知识进行分析计算.
选择题与解答题相比较,选择题最突出的优
点是由它所组成的试卷的题量大、取样广泛和评
分客观、可以采用计算机阅卷,而选择题最突出的
缺点是无法考查考生的解题过程和无法避免猜答
案的行为.选择题评分客观并可采用计算机阅卷
的优点是众所周知的,而选择题无法考查考生的
解题过程的缺点可用它与解答题合理搭配的方法
弥补.现就选择题与试卷题量及猜测得分进行定
量分析.
1 选择题与试卷题量
从统计学的观点看,考试是一种抽样测量,待
测内容是我们所要考查的总体,试题实际考查到
的内容是我们从总体中抽取的样本,从对样本(试
题)的测量结果来推断总体的特征(考生对全部
待测内容的掌握情况).只要实际考查到的内容,
是从总体中随机抽取的,试题又是足够多(即样本
足够大),测试的结果也能够反映总体的特征.
当试题数至少达到多少时,才能够用抽样法
推断总体?试题数的确定取决于三个因素,即考生
的考分标准差、允许抽样误差、推断可靠程度.如
标准差较大则试题要多,反之则少,如允许抽样误
差小则试题要多,反之则少;如推断可靠程度要求
高则试题要多,反之则少.具体计算可根据统计学
中不重复抽样单位数公式n=
t2N 2
N2x+t2 2
,该公
式中t为概率度,N为总体单位数, 为总体标准差,x为抽样误差范围.
例如,据1998年全国高考数学试题评价报告,该年考生成绩的标准差是29分(理科),现行高中数学理科有125个知识点,假定要求推断可靠程度为95%(查表得概率度t=1.96),允许抽样误差为10分,则1999年高考数学试卷至少需抽选试题数n=
t2N 2
N2x+t2 2
=
1 962!125!292
125!102+1 962!292
∀26(题).
由上述公式计算,当标准差为29分时,试题数与推断可靠程度、允许抽样误差之间的数量关系见下表1.
表1 试题数
抽样误差范围
推断可靠
程度(概率度)
10分8分6分90% (1 65)20题28题43题
95% (1 96)26题36题53题
99 73% (3)48题61题79题 由表1中试题数的数据表明,在标准差不变的情况下,要使试卷有较大的推断可靠性,同时有较小的抽样误差,则试卷必须有足够的题量.在测试时间、测试题难度等同的情况下,选择题在解题时只需要划个记号或在给定的符号上涂抹,而划记号或涂抹的速度,要大大快于写具体答案的速度.这样,一份由选择题参予的试卷,就有可能容纳几十道试题,从而使试题的取样有更好的代表性,才能够用抽样法推断总体.由上述分析计算,充分说明把选择题作为测试题的一种题型是必要的.
2 选择题与猜测得分
选择题是由题干和选择支组成的若干命题,常见的选择题,除有特别说明之外,均属#给出的四个答案中有且只有一个答案正确∃,即所谓#四中择一∃型的选择题.从概率论的观点看,如果每题选择题之间都是相互独立的,则完全靠猜测解答n题#四中择一∃型的选择题是n次贝努里试验,那么完全靠猜测答案来得分的情况可以用贝努里概型公式P n(k)=C k n%p k%(1-p)n-k及二项分布的数学期望公式E( )=np分析计算.
例如,1999年全国高考数学试卷中的选择题
采用了#四中择一∃型的选择题,选择题部分共有14题,每小题4分,共56分.一名完全靠猜测答案的考生,猜测得分情况如下:
2 1 猜对题数的概率分布
对于#四中择一∃型选择题,猜对1题的概率
p=1
4
=0.25,n=14,k=0,1,2...,14,分别为
全部未猜对,猜对1题,&猜对14题,根据贝努里概型公式P n(k)=C k n%p k%(1-p)n-k,得全部未猜对的概率P14(0)=C014!0 250!(1 -0 25)14-0∀0 018
猜对1题的概率P14(1)=C114!0 251!(1-0 25)14-1∀0 083
&&
猜对14题的概率P14(14)=C1414!0 2514!(1 -0 25)14-14∀3 7!10-9
由上述计算,猜对题数的概率分布见下表2.
表2 猜对题数的概率分布
猜对题数k01234567概率p0 0180 0830 1800 2400 2200 1470 0730 028猜对题数k891011121314
概率p0 0080 0023 0!
10-4
3 7!
10-5
3 1
!10-6
1 6!
10-7
3 7!
10-9
由表2中猜对题数概率分布的数据表明,在总共14题选择题的情况下,一名完全靠猜测答案的考生,猜对0 7题的概率为0 018+0 083+& +0 028=0 989,而猜对8 14题的概率约为0 008+0 002=0 01,0 01为小概率事件,根据统计学中的小概率原理,小概率事件在一次试验中发生是不可能的,即一名完全靠猜测答案的考生,猜对8题以上,实际上可以认为是不会发生的.反过来说,答对8题以上的考生的成绩是可信的.
2 2 猜对题数的平均值与得分均值
根据二项分布的数学期望公式E( )=np,即猜对题数的平均值E( )=总猜测题数n!猜对1题概率p,得
猜测1题,猜对题数平均值E( 1)=1!1 4 =
0 25题
猜测2题,猜对题数平均值E( 2)=2!1 4 =
0 5题
&&
猜测14题,猜对题数平均值E( 14)=14! 1
4
=3 5题
如果按每小题4分计分,由上述计算,总猜测题数、猜对题数平均值与得分均值关系见下表3.
表3 得分均值
总猜测题数n1234567总猜测题数平均值E( )0 250 50 7511 251 51 75得分均值1234567总猜测题数n891011121314猜对题数平均值E( )22 252 52 7533 253 5得分均值891011121314
由表3中得分均值的数据知道,在总共14题选择题的情况下,一名完全靠猜测答案的考生,猜测得分均值为14分.但要知道,这是在极端的情况下得出的.实际上,一方面选择题主要用来考查基本知识和基本运算,难度相对较小.另一方面考生都具备一定的学力资格,所以出现每一题都靠猜测得分的考生,一般是不存在的.如果存在的话,那么该份试卷对于该考生来说是完全无效的.
事实上,多数考生是会答一部分,对不会的部分靠猜测得分,根据表3中得分平均值的数据知道,在14题选择题中,如果一个考生会答其中的8题,猜测6题,则他平均可得38分,其中6分是猜得的;如果会答其中的10题,猜测4题,则他平均可得44分,其中4分是猜得的;如果会答其中的12题,猜测2题,则他平均可得50分,其中2分是猜测的.反过来说,对所有选择题都选的考生,得38分的,平均有6分是不可信的;得44分的,平均有4分是不可信的;得50分的,平均有2分是不可信的,即得分越多成绩越真实可信.
综上2 1节与2 2节所述,在总共14题选择题的情况下,根据表2的猜对题数的概率分布,对于答对8题以上即得38分以上的考生,其成绩就是可信的.其平均猜测误差3 5分与试题抽样误差和测试实施误差相比,是可以忽略的.
以上分析选择题的优点与缺点,是为了研究在什么条件下,更能发挥选择题的优点,并使它的缺点,对于考试的可靠性、有效性不构成实质性的干扰.。