【解析】选D.根据题意先画出函数f(x)在 [0, ] 上的图
2
象,再根据f(x)是偶函数,作出f(x)在 [

,
上的图象, 0]
又因为f(x)的最小正周期为π ,所以左右2 平移一个周期,
得到f(x)在闭区间
上的图象,如图,所以要使
得直线y=m与函数f([x)32的 ,图32象] 在闭区间
余弦曲线
(1)观察正弦曲线和余弦曲线具有怎样的对称性? 提示:y=sin x,x∈R的图象关于原点对称,y=cos x, x∈R的图象关于y轴对称.
(2)上述特征反映出正、余弦函数的什么性质? 提示:上述特征反映出正弦函数y=sin x是奇函数,余弦 函数y=cos x是偶函数.
结论:正弦、余弦函数的奇偶性
=sin 2x=-f(x),
所以函数f(x)=cos
是奇函数.
(2x 5 )
2
(2)函数的定义域为R, 且f(-x)=sin[cos(-x)] =sin(cos x)=f(x), 所以函数f(x)=sin(cos x)是偶函数.
【方法总结】利用定义判断函数奇偶性的三个步骤
提醒:若函数f(x)的定义域不关于原点对称,无论f(-x) 与f(x)有何关系,f(x)都是非奇非偶函数.
3
3
【解析】因为f(x)=sin (x ) (ω>0)的周期为π,
3
所以 2 =π,故ω=2.
所以f(x)=sin (2x ) ,
所以f =sin 3
=sin = .
答案:
(

3
)
[2 ( ) ]
33
( ) 3 32
3 2
类型二 正弦函数、余弦函数的奇偶性
,且当x∈
[0,
]
时,
f(x)=sin x,则 等于 ( )
2
f (5 )
3
A. 1
B. 1
C. 3
D. 3
2
2
2
2
【解题指南】利用周期性和奇偶性,把 5 转化成区间 内的一个角,利用已知解析式求值.3
[0, ] 2
【解析】选D. f
(5
)＝f (5
)＝f
( 2
)＝f
2 2 22
所以f ( ) ≠f ( ),所以f(x)不是偶函数,
所以f(x)4是奇函数4 ,但不是偶函数.
2.f(x)=sin x·cos x是________(填“奇”或“偶”) 函数. 【解析】f(-x)=sin(-x)·cos(-x)=-sin x·cos x= -f(x).所以f(x)=sin x·cos x是奇函数. 答案:奇
正弦函数是___函数;余弦函数是___函数.
奇
偶
【对点训练】
1.函数f(x)=2sin xsin (x ) 是 ( )
A.奇函数,但不是偶函数 2 B.偶函数,但不是奇函数 C.奇函数,又是偶函数 D.不是奇函数,也不是偶函数
【解析】选A.因为f(x)=2sin xsin (x ) =
是怎样的? 提示:自变量x增加2π 的整数倍时,函数值重复出现,图 象发生“周而复始”的变化.
结论:
1.周期函数
对于函数f(x),如果存在一个_____常数T,使得当x取定 非零
义域内的每一个值时,都有____________,那么函数f(x) 就叫做周期函数,非零常数Tf叫(x做+T这)=个f(函x)数的周期.
(1)若sin ( ) =sin ,则 是正弦函数y=sin x的
一个周期. 4 2
4
2
(2)因为sin(2x+2π )=sin 2x,所以函数y=sin 2x的最
小正周期为2π .
(3)若T是函数f(x)的周期,则kT,k∈N*也是函数f(x)的 周期.
【解析】对于(1),当x= 时,sin ( ) ≠sin ,故
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
主题1 周期函数及正弦函数、余弦函数的周期性 观察f(x)的部分图象,思考下列问题:
(1)观察图形, 函数图象每相隔多少个单位重复出现? 提示:每相隔1个单位重复出现.
(2)由诱导公式一: sin(x 2k ) sin x，结合正(余)弦曲 线,可以看出正(余)弦co函s(x数怎2k样) 的 c特os 征x ?图象变化趋势
都有 f (x)
sin(x)

sin x
f (x)，
所以
是2奇 c函os数(x.) 2 cos x
f (x) (2)因为
所以f f (x=) 0,11f scionsx不x存csoins在xx ,，所以
是非奇非偶函数.
( )
( )
f (x)
2
2
(3)因为 f (x) =20sin x+19cos x,
所以f (

)


2 ，f ( ) 39
2 ， 所以存在x=
,使得
4 且2 4 2 所以 是非奇非4 偶函数.
f (x) f (x)， f (x) f (x)， f (x)
类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
【典例3】定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期
函数,若f(x)的最小正周期为π
【典例2】判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=cos
.
(2)f(x)=sin((c2oxs 5x2)).
【解题指南】先判断函数的定义域是否关于原点对称, 然后判断f(-x)与f(x)的关系.
【解析】(1)函数的定义域为R,
且f(x)=cos ( 2x) =-sin 2x.
因为f(-x)=-s2in(-2x)
【跟踪训练】已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,最
小正周期为π
,f(x)=
20sin
x,0
x


4
,
若直线y=m与函
数f(x)的图象在闭区间
2cos x,
4

x上的2 ，交点个数为12,
则m的取值范围为(
)[
3
2
,
3
2
]
A.1≤m≤2 B.1<m≤2 C.0≤m≤1 D.0<m≤1
( 2
)
33
33
＝f ( )＝f ( )＝sin ＝ 3 .
3 3 32
【方法总结】 1.利用周期性和奇偶性解决求值问题的方法 利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为 x的函数值.利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关 系,从而可解决求值问题.
2.判断y=Asin(ω x+φ)或y=Acos(ω x+φ)是否具有奇 偶性的关键 判断函数y=Asin(ω x+φ)或y=Acos(ω x+φ)是否具备 奇偶性,关键是看它能否通过诱导公式转化为y= Asin ω x(Aω ≠0)或y=Acos ω x(Aω ≠0)其中一个.
2.作出函数f(x)=
的图象,并求f(x)的最小正
1 sin2x
周期.
【解析】f(x)= 1 sin2x =|cos x|,其图象如图所示. 由图象可知f(x)的最小正周期T=π.
【补偿训练】已知函数f(x)=sin (x )(ω >0)的周期
为π ,则f ( ) =________.
T= =2.所以f(x)是最小正周期为2的非奇非偶函数.
2
2.判断下列函数的奇偶性
(1)f (x)
sin x
.
(2)f
(x)

2 cos x 1 sin x
cos
x
.
(3)f =210scions xx+s1in9cxos x.
(x)
【解析】(1)函数的定义域为R,对于任意实数x,
2 -2sin xcos x,定义域为R,∀x∈R,f(-x)=
-2sin(-x)cos(-x)=2sin xcos x=-f(x),所以f(x)是
奇函数,因为f =-2sin cos =-2×
=1,f
(=-42)sin
co(s

4
)
=-2×(

4
)
=-(1,22 )
2
( )
2
4

44
小正周期为____. 2π
【对点训练】
1.若任意x∈R有f(x+2)=f(x),则下列不可能是f(x)的
周期的是 ( )
A.-2
B.0
C.2
D.4
【解析】选B.因为f(x+2)=f(x)对任意x∈R恒成立,故2 是f(x)的一个周期,因此2k(k≠0,k∈Z)均为f(x)的周 期.
2.下列说法正确的是________.(填序号)
23
3sin (
x



2
)
=3sin
即f(x2+4π3 )=f(x
3
=3sin
(x 2

),
3
所以T=4π.
【方法总结】 求函数周期的方法 (1)定义法:紧扣周期函数的定义,寻求对任意实数x都 满足f(x+T)=f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象 函数.
(2)图象法:可画出函数的图象,借助于图象判断函数的 周期,特别是对于含绝对值的函数一般采用此法.
【跟踪训练】
1.函数f(x)=cos 4x,x∈R是 ( )
A.最小正周期为π 的偶函数 B.最小正周期为π 的奇函数 C.最小正周期为 的偶函数

D.最小正周期为 2 的奇函数

2
【解析】选C.因为T= 2 ＝2 ＝ ,f(-x)=cos(-4x)= cos 4x=f(x),所以f(x)是偶4函数2.