·
·
10
x
20
分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两
个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有
S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数
的最小值，可用绝对值三角不等式求解。
.
7
绝对值不等式的解法
1:形如|x|<a和|x|>a (a>0)的含绝对值的不等式的解集
① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}
(Ⅱ)当5x-6<0,即x<6/5时，不等式化为 -(5x-6)<6-x，解得x>0
所以0<x<6/5 综合(Ⅰ)、 (Ⅱ)取并集得（0，2）
5x-6 ≥ 0
5x-6<0
解：
(Ⅰ) 或
(Ⅱ)
5x-6<6-x
-（5x-6）<6-x
解(Ⅰ)得：6/5≤x<2 解(Ⅱ) 得：0<x<6/5
取它们的并集得.：（0，2）
9
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
分析：对6-x 符号讨论，
当6进-x≦一0时步,反显然思无:不解等；式组 当6中-x6>-0x时>0,转是化否为可-(以6-x去)<掉5x-6<(6-x)
解：由绝对值的意义，原不等式转化为：
6-x有>0更一般的结论：X<6
|f(x|)f|(>xg-)(|(6<x-g)x()x<5) x-6f(<x(6)->-gxg()x(x)<) f或(xf)5(-<x(x6g-)-6<(xx<-)g(<)65(-xxx)-)6
(2)| x23x|4
解:∵| 3 2x |≥ 7 ∴ 2 x 3 ≥ 7
∴ 2x 3≥ 7或2x 3 ≤ 7 ∴ x ≥ 5或x ≤ 2
∴原不等式的解集为,2 5, .
(1, 4)
(3)|3x 2|1
(4)1|3x4|≤ 6
(, 0) (1, )
(1, 2] [ 10 , 5)
3
33
.
| a b | ( a b ) 2 a2 2ab b2 | a |2 2 | a b | | b |2
| a |2 2 | a || b | | b |2 | a |2 2 | a || b | | b |2
(| a | | b |) 2
(| a | | b |) 2
|a | |b |
|a | |b |
综合10,20知定理. 成立.
3
定理 1（绝对值三角形不等式）如果a, b 是实数， 则 a b ≤ a b （当且仅当 ab≥0 时，等号成立.）
如果把 a, b 换为向量 a, b ，根据向量加法的三 角形法则,易知 a b ≤ a b .(同向时取等号)
. bb
1
思考:用恰当的方法在数轴上把 a , b , a b 表示出 来，你能发现它们之间的什么关系?
注：绝对值的几何意义:
⑴ a 表示数轴上的数 a 对应的点 A 与原点 O 的距离 OA ;
⑵ a b 表示数轴上的数 a 对应的点 A 与数 b 对应的点 B
的距离.如图:
即 a = OA ， a b AB
猜想： a b ≤ a b
（当且仅当 ab≥0 时，等号成立.）
.
2
已知 a, b 是实数，试证明： a b ≤ a b
（当且仅当 ab≥0 时，等号成立.）
证明:10 .当ab≥0时,
20. 当ab<0时,
a b | a b |,
a b | a b |,
| a b | ( a b ) 2 a2 2ab b2
0<x<2 .
10
2.型如|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c∈R)不等式解法
当 c>0时, cax+bc |ax+b|c当 c=0时, ax+b=0
当 c<0时, x
当 c>0时, ax+bc或ax+b-c |ax+b|c
当 c0时, xR
.
11
课堂练习一： 试解下列不等式：
(1)|32x|≥7
二、绝对值不等式
复习回顾： 我们知道,一个实数 a 的绝对值的意义:
a (a 0) ⑴ a 0 (a 0) ;（定义）0
|a |
ax
a (a 0)
O
A
⑵ a 的几何意义:
表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.
关于绝对值还有什么性质呢?
① a a2 ② ab a b , a a ,……
ab b
a
推论 1 a1 a2
ab
a
b
an ≤ a1 a2 an
.
4
定理2 如果a、b、c是实数,
-
-------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|
-------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立.
定理3 如果a、b是实数,
-
-------那么||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|
当且仅当ab ≤0时, 当且仅当ab ≥0时,
等号成立.
等号成立.
将定理中的实数a、b换成向
量(或复数)仍成立
.
5
例1 已知ε>0,|x-a|<ε,|y-b|<ε, 求证: 2x+3y-2a-3b|<5ε
证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε.
所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε.
.
6
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个
地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第
10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施
工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生
活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工
队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于
何处？ ·
12
3.型如|ax+b|+|cx+d|≥k(k∈R)不等式解法
例 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2
-3 -2
12
所以原不等式的解为 x2或 x-3
方法一：利用绝对值的几何意义，体现了数 型结合的思想．
.
13Leabharlann 例 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
解：１０当x>1时，原不等式同解于
X>1
X≥2
(X-1)+(X+2) ≥5
-a
0
a
② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }
-a
0
a
注：如果 a ≤0 ，不等式的解集易得.
利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式.
.
8
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
解：对绝对值里面的代数式符号讨论：
(Ⅰ)当5x-6≥0,即x≥6/5时，不等式化为 5x-6<6-x，解得x<2, 所以6/5≤x＜2