复数计算练习题
HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a，b∈R，则a＝b是(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数的( )
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
答案C
2.10i
2－i
＝( )
A．－2＋4i B．－2－4i C．2＋4i D．2－4i 答案A
3．若w＝－1
2
＋
3
2
i，则w4＋w2＋1等于( )
A．1 B．0
C．3＋3i D．－1＋3i 答案B
4．在(1
2
＋
3
2
i)12的展开式中，所有奇数项的和等于( )
A ．－1
B ．1
C ．0
D ．i
答案 B
5．已知z
1＋i ＝2＋i ，则复数z ＝( ) A ．－1＋3i B ．1－3i
C ．3＋i
D ．3－i
答案 B
解析 ∵z
1＋i ＝2＋i ，∴z ＝(2＋i)(1＋i)＝2＋3i ＋i 2＝1＋3i.∴z ＝1－3i. 6．复数⎝ ⎛⎭
⎪⎫2i 1＋i 2等于( ) A ．4i B ．－4i
C ．2i
D ．－2i
答案 C
7．复数2＋2i41－3i5
等于( ) A ．1＋3i B ．－1＋3i
C．1－3i D．－1－3i 答案B
8．复数1＋2
i3
＝( )
A．1＋2i B．1－2i C．－1 D．3
答案A
解析1＋2
i3
＝1＋
2
－i
＝1＋2i，故选A.
9．在复数集C内分解因式2x2－4x＋5等于( ) A．(x－1＋3i)(x－1－3i)
B．(2x－2＋3i)(2x－2－3i)
C．2(x－1＋i)(x－1－i)
D．2(x＋1＋i)(x＋1－i)
答案B
10．复数i3(1＋i)2＝( )
A．2 B．－2
C．2i D．－2i
答案A
解析由题意得i3(1＋i)2＝－i·2i＝－2i2＝2，选A.
11．复数z＝
1
1－i
的共轭复数是( )
A.1
2
＋
1
2
i B.
1
2
－
1
2
i
C．1－i D．1＋i 答案B
解析z＝
1
1－i
＝
1＋i
1－i1＋i
＝
1
2
＋
1
2
i，z＝
1
2
－
1
2
i，故选B.
12．已知复数z＝1－i，则z2－2z
z－1
＝( )
A．2i B．－2i
C．2 D．－2
答案B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知复数z＝2＋i，则z4－4z3＋6z2－4z－1＝________.
答案－6
解析 z 4－4z 3＋6z 2－4z －1＝(z 4－4z 3＋6z 2－4z ＋1)－2＝(z －1)4－2＝(1＋i)4－2＝
[(1＋i)2]2－2
＝(2i)2－2＝－4－2＝－6.
14．i4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝________(n 为正整数)．
答案 0
15．已知1－i31＋i
＝a ＋3i ，则a ＝________. 答案 －2－3i
16．设z ∈C ，z ＋|z |＝2＋i ，则z ＝________.
答案 34
＋i 解析 设z ＝a ＋b i ，则|z |＝a 2＋b 2.
∴a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i.
∴⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1.
∴⎩⎨⎧ a ＝34
，b ＝1，∴z ＝34
＋i. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)若复数z ＝m 2＋m －2＋(2m 2－m －3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．
解析 由题意得z ＝m 2＋m －2－(2m 2－m －3)i.
∴⎩⎨⎧ m 2＋m －2>0，－2m 2－m －3>0，即⎩⎨⎧ m 2＋m －2>0，2m 2－m －3<0，
解得1<m <32
. 18．(12分)计算(12＋32
i)3. 解析 方法一 ∵(12＋32i)3＝(12＋32i)2·(12＋32i)＝(－12＋32i)(12＋32i)＝(32
i)2－(12)2＝－34－14
＝－1. 方法二 原式＝(12)3＋3×(12)2×32i ＋3×12×(32i)2＋(32i)3＝18＋338i －98－338
i ＝－1.
19．(12分)已知复平面内点A 、B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋
icos2θ，其中θ∈(0,2π)，设AB →
对应的复数为z .
(1)求复数z ；
(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12
x 上，求θ的值．
解析 (1)z ＝z 2－z 1＝－cos 2θ－sin 2θ＋i(cos2θ－1)＝－1－i(2sin 2θ)．
(2)点P 的坐标为(－1，－2sin 2θ)．
由点P 在直线y ＝12x ，得－2sin 2θ＝－12
. ∴sin 2θ＝14，∴sin θ＝±12
. 又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π6，56π，76π，116
π. 20．(12分)已知复数z ＝1－i2＋31＋i 2－i
，若z 2＋az ＋b ＝1－i ，试求实数a 、b 的值．
解析 化简得z ＝1＋i 代入方程，得
a ＋
b ＋(2＋a )i ＝1－i.
∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1， ∴⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝4.
21．(12分)设z ＝(a 2－a －6)＋
a 2＋2a －15a 2－4
i(a ∈R )，试判断复数z 能否为纯虚数？并说明理由．
解析 假设复数z 能为纯虚数，则
⎩⎨⎧ a 2－a －6＝0，
a 2＋2a －15a 2－4≠0.∴⎩⎨⎧ a ＝3或a ＝－2，a ≠－5且a ≠3且a ≠±2.
∴不存在a 使复数z 为纯虚数．
22．(12分)已知a ∈R ，问复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象
限？复数z 对应点的轨迹是什么？
解析 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，
－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，
得z 的实部为正数，z 的虚部为负数．
∴复数z 对应的点在第四象限．
设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎨⎧
x ＝a 2－2a ＋4，
y ＝－a 2－2a ＋2.
消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)．
∴复数z 对应点的轨迹是一条射线，
其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．。