3
(r
sin
z)
dz
9
0
00
2
思考: 若 改为内侧, 结果有何变化?
若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
例2. 利用Gauss 公式计算积分
z
其中 为锥面 x2 y2 z2 介于 z = 0 及
z = h 之间部分的下侧. 解: 作辅助面
1 hh
o
y
x
1: z h, (x, y) Dxy : x2 y2 h2, 取上侧
z
2 z d x d ydz h4
2
h
z
z2
dz
h4
0
1 h4
2
1 hh
o
y
x
例3. 设 为曲面 z 2 x2 y2, 1 z 2 取上侧, 求
I (x3z x) d y d z x2 yz d z d x x2z2 d x d y.
解: 作取下侧的辅助面
z 2
1 : z 1 (x, y) Dxy : x2 y2 1
I 用柱坐标
用极坐标 1 1
1 1
o
d
x
d
ydz
(1)
( Dxy
x
2
)
d
x
d
y
x
1y
2
d
0
1
dr
0
2 cos2 d 0
13
12
例4. 设函数
在闭区域 上具有一阶和
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 P u v
u
2v x2
2v y2
2v z2
d
x
d
y
d
z
x Q u v
• 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通域 .
例如, 球面所围区域 既是一维也是二维单连通区域 ; 环面所围区域 是二维但不是一维单连通区域 ; 立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但
( u F ) u F u F
( FG ) ( F )G F(G )
III、链规则 f ( u ) f ( u )u
注意：
( F ) divrot F 0
( u ) rot gradu 0
( u ) 2u uxx uyy uzz u
练习1、设f二次可微，求
f ( r ), ( f ( r ) r ), ( f ( r ) r )
其中 r { x, y }, r r x2 y2 .
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的有向闭曲
面 所围成, 的方向取外侧,向量场F { P,Q,R }
上有连续的一阶偏导数 , 则有
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
z
解: 这里 P ( y z)x, Q 0, R x y
3
利用Gauss 公式, 得
原式 = ( y z) d x d y d z (用柱坐标) o
(r sin z)r dr d d z
x1
y
2
d
1
rd r
其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数,在场中点 M(x, y, z) 处
P Q R x y z
记作
div F
F
称为向量场 F 在点 M 的散度.
i jk
(Ry
Q z
),
(
P z
R x
),
(Qx
P y
)
x
y
z
记作
rot F F
PQR
称为向量场 F 在点 M 的旋度.
若 u( x, y, z ) 是可微的数量函数，则 u u u
记 , 1所围区域为, 则
在 1 上
2
,
0
I (
)(x2 cos y2 cos z2 cos ) d S
1 1
2 (x y z) d x d y d z Dxy h2 d x d y
I 2 (x y z) d xdydz Dxy h2 d x d y
利用重心公式, 注意 x y 0
gradu u( x, y , z ) i j k x y z
I、线性规则
( au bv ) au bv
( a F bG ) a F b G
( a F bG ) a F b G
II、乘积规则
( uv ) vu uv
( u F ) u F u F
R z
d
x
d
y
d
z
R
d
x
d
y
若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面
将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面
正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 .
类似可证
P x
d
x
d
y
d
z
Pd
y
d
z
Q y
d
xd
y
d
z
Qd
zd
x
三式相加, 即得所证 Gauss 公式：
例1. 用Gauss 公式计算
其中 为柱面
y
u
v x
cos
v y
cos
v z
cos
d
S
R u v z
u x
v x
u y
v y
u z
v d xd y d z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
分析:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y
证:令
P
u
v , x
Q
u
v y
,
R
u
v , z
由高斯公式得
2v x2
2v y2
2v z2
v
v v
x y z
u
v x
cos
v y
cos
v z
cos
d
S
移项即得所证公式.(见 P171)
*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
1. 连通区域的类型 设有空间区域 G , • 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ;
F dS
(Gauss 公式)
即：
P x
Q y
R z
d
xd
ydz
P d y d z Q d z d x R d xdy
下面先证:
R z
d
x
d
y
d
z
R
d
x
Hale Waihona Puke dy证明: 设
为XY型区域 , 1 2 3, 1 : z z1(x, y),
2 : z z2 (x, y),则
z
R d x d y d z z
dxd y
Dx y
z2(x,y) R d z z1(x, y) z
2
3
Dx y
R(x,
y,
z2
(x,
y))
R(x, y, z1(x, y) ) d x d y
1
x Dxy y
Rd
xd
y
2
1
3R d
xd
y
Dx
R(
y
x,
y,
z2
(
x,
y))dxdy
R(
Dx y
x,
y,
z1
(
x,
y))
d
xdy
所以
第六节
第十一章
高斯公式 通量与散度
Green 公式 推广 Gauss 公式
0、梯度、散度 与旋度 一、高斯公式
*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
三、通量与散度
0、梯度、散度 与旋度 定义: 设有向量场
F( x, y, z ) P( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k