数项级数的敛散性的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1nn U∞=∑（ D ）A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n∞=∑收敛 选D2．设1nn U∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ）A ．1nn U∞=∑ B.()12008nn U ∞=∑C ．()10.001n n U ∞=+∑ D ．11n uU ∞=∑解：()12008nn U ∞=∑＝20081nn U∞=∑1nn U ∞=∑收敛∴由性质()12008nn U ∞=∑收敛3．下列级数中一定收敛的是…( A )A ．21014n n ∞=-∑ B ．10244n n nn ∞=-∑ C ．101nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ D+… 解：214n U n =-0n ≥21n=lim 1n n nU V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ）A ．11n n n ∞=+∑n（－1） B ．()211nn n ∞=-∑C ．1nn ∞=- D ．()1312nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ 解：（1）n ∞∞=n=1发散（112p =<）（2）11nn ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C5．级数()111cos nn k n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑ （k>0）…（ B ）A ．发散B ．绝对收敛C ．条件收敛D ．敛散性与K 相关解：11(1)(1cos )1cos nn n k k n n ∞∞-=⎛⎫--=- ⎪⎝⎭∑∑1cos n kU n=-222k n =lim 1n n nU V →∞=且1n n V ∞=∑收敛，故选B 6．设正项极数!1lim n nn n nU U p U∞+→∞==∑若则（D ）A..当0<p<+∞时，级数收敛B.当p<1时级数收敛，p ≥1时级数发散C.当p ≤1时级数收敛，p>1时级数发散D.当p<1时级数收敛，p>1时级数发散解：当P<1时级数收敛，当P>1时级数发散，当P ＝1时失效。

故选D 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．若lim 0n n U →∞≠则常数项级数1nn U∞=∑一定是 （发散）解：若nn x U∞=∑收敛，则lim 0n n U →∞=。

由逆否命题知：若lim 0n n U →∞≠则1nn U∞=∑发散8．当311p n n∞-=∑收敛时，则P>4解：由p 一级数的敛散性知，当P –3 >1时级数收敛，故P>4 9．级数()111n n n ∞=+∑的前9项的和9S ＝910 解:()991111111n n n n nn ==⎛⎫=- ⎪++⎝⎭∑∑＝111111223910⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝1110-＝910 10．113n n ∞=∑的和S=12解：11311213q S q ===--11．若数项级数112n n n r ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，则r 的取值范围是 －1<r< 1解：112n n ∞=∑收敛，∴当1r <时112n n n r ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛12．若1n n na ∞=∑收敛（a>0），则a 的取值范围是1a >解：111lim lim n n n n n nU n a U a a ++→∞→∞+=⨯＝11a <三、计算题（每小题8分，共64分） 13．判别2n ∞=∑的敛散性解： n U=取21n v n =lim 1n n nU V →∞=且211n n ∞=∑收敛 ∴由比较法的极限形式知2n ∞=∑也收敛14．判别311arctan 2n n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的敛散性 解：（1）当n →∞时，31arctan 2n ~312n(2) lim n n nU V →∞ 212n V n = 221arctan 2lim 12n n n n →∞＝1，且2112n n ∞=∑收敛（p=2>1）∴由比较法的极限形式知，311arctan 2n n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑也收敛15．判别12(1)4n nn ∞=⎛⎫+- ⎪⎝⎭∑的敛散性 解法：（1）这是正项级数2(1)4n n +-<34n 且134nn ∞=∑，收敛114q =< ∴由比较法非极限形式知12(1)4nnn ∞=+-∑收敛 解法（2）124nn ∞=∑收敛，1(1)4n n n ∞=-∑收敛 ∴由性质知12(1)4nnn ∞=+-∑也收敛 16．判别1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅-∑的敛散性 解：这是正项级数()1113(21)(21)lim lim 31!n n n n n U n n U n ++→∞→∞⋅⋅⋅⋅-+=+⨯3!13(21)n n n ⋅⋅⋅⋅-＝21lim 3(1)n n n →∞++＝23<1 ∴由此值判别法知1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅-∑也收敛 17．判别12!nn n n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑ 的敛散性解：（1）这是正项级数且含有!n ,2n,n n 用比值法（2）1lim n n nU U +→∞＝()221!lim (1)(1)n nn n n n n →∞⋅+⋅++⋅2!n n n n ＝lim 2(1)n n n n n →∞⋅=+12lim 1(1)n n n→∞+＝21e<∴由比值法知12!nn n n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛18．判别21arctan 3nn n n∞=∑的敛散性 解：（1）arctan 2n π<∴2arctan 3n n n ＝223n nn U π< 取223n n n V π= （2）判别2123nn n π∞=∑的收敛性 ρ＝1lim n n nV V +→∞＝()211lim 3n n n +→∞+23n n ⨯<1 ∴1n n V ∞=∑收敛（3）综合（1）（2）有1n n U V ∞<∑nn ＝且V收敛，故原级数收敛19．判别211sin 3n n n π∞=∑的敛散性，若收敛，是绝对收敛或条件收敛 解：（1）这是任意项极数211sin 3n n π∞∑n ＝（2）2211sin 3n n n π<（sin 13n π≤） 且211n n ∞=∑收敛∴21sin 3n n n π∞=∑收敛 故21sin 3n n nπ∞=∑绝对收敛 20．11(1)n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑n-1ln 1＋的敛散性，若收敛，是绝对收敛或条件收敛解：（1）11(1)n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑n-1ln 1＋＝11n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ln 1＋1ln(1)lim1n n n→∞+＝1且 11n n ∞=∑发散 ∴11(1)n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑n-1ln 1＋发散11(1)n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑n-1ln 1＋为交错级数令1ln(1),01y x y x =+>+’=（1x >）y →即有1ln(1)n U n =+>1ln(1)1n ++ 故原级数条件收敛四、综合题（每小题10分，共20分）21．讨论级数11(0)1nn a a ∞=>+∑在0<a<1;a=1;a>1三种条件下的敛散性 解：（1）当0<a<1时，lim n n U →∞=1lim 1n n a →∞+01a << 10≠∴级数111nn a∞=+∑发散 （2）当a ＝1时lim n n U →∞=1lim 1n n a →∞+＝110112=≠∴+级数发散（3）当1a >时1111nn n nU a a a ⎛⎫=≤= ⎪+⎝⎭∴由比较法111nn a ∞=+∑也收敛 22．讨论级数21(0)nn a a n∞=>∑在0<a<1;a=1;a>1三种条件下的敛散性解：（1）当0<a<1时221n a n n <且211n n ∞=∑收敛（p=2>1）∴由比较法知21n n a n∞=∑也收敛 （2）当a=1时，21n n a n ∞=∑＝211n n∞=∑收敛（p ＝2>1）（3）当a>1时，()112lim lim 1n n n n nU a U n ρ++→∞→∞==+ ()22lim 11n n n n a a a n →∞⨯==>+ ∴由此值判别法知21n n a n ∞=∑发散 综合：当01a ≤≤时21n n a n ∞=∑收敛，当1a >时21nn a n ∞=∑发散 五、证明题（每小题9分，共18分） 23．若正项极数1nn U∞=∑收敛，证明：21nn U∞=∑也收敛（反之不成立）证明：（1）1nn U∞=∑收敛∴lim 0n n U →∞=当n 充分大时，有：0<n U <1故有2n n U U >（n 充分大时）（2）2n nU U >且1n n U ∞=∑收敛∴由比较法21n n U ∞=∑也收敛注：反之不成立如211n n ∞=∑收敛但11n n∞=∑发散24．若21nn U∞=∑收敛，21nn V∞=∑收敛，证明：1nn n UV ∞=⋅∑也收敛证：（1）()20n n U V -≥（2）222n n n n U V U V +≥且()221nnn UV ∞=+∑收敛∴由此比较法知12n n n U V ∞=⋅∑也收敛 即1n n n U V ∞=⋅∑也收敛选作题：设n U >0 1nn U∞=∑收敛，且lim n n nu →∞存在。

证明lim n n nu →∞＝0（提示：用反证法）证：反证法：设lim01nn U n→∞≠且lim n n nu →∞存在又11n n ∞=∑发散，∴由此比较法的极限形式知：1n n U ∞=∑也发散 这与1n n U ∞=∑的题设矛盾故有lim n n nu →∞＝0。