变量代换方法在求解微分方程中的应用1 引 言在微分方程的理论中，变量代换方法有着广泛的应用。

通过对原方程的变量或因变量用新的变量代换，使原方程化为相对容易解的方程类型，从而达到快捷求解的目的。

然而，值得注意的是，不同的类型的方程, 其采用的变量代换可能不尽相同，本文对各种变量代换方法在求解微分方程中应用进行讨论和总结。

2 变量代换方法在几类微分方程求解中的应用 定义1 如果一阶微分方程具有形式)()(y g x f dxdy=，则该方程称为可分离变量微分方程.若设0)(≠y g ，则可将方程化为dx x f y g dy)()(=.即将两个变量分离在等式两端. 其特点是：方程的一端只含有y 的函数与dy ，另一端只含有x 的函数与dx .对于该类程，我们通常采用分离变量的方法来处理。

例1 求微分方程xy y 2='的通解. 解 因为xy dx dy 2=， 分离变量，xdx dxdy2=，两端积分，C x y +=2||ln ， 12||c x e y +=， 所以12c xe y +±=.令1C e C ±=，于是2x Ce y =为所求.注：以后为了方便，可将||ln y 就写成y ln ，注意结果中C 可正可负.对于上面的例子，我们可以采用分离变量的方法来求解，而有些方程虽然不是变量分离方程，但是可以通过适当的变量代换，转换为分离变量方程。

对于新方程应用分离变量的方法，求出通解后再带回原变量就可以得到其通解。

如何寻求恰当的变量代换将给定的方程化为分离变量方程，没有一般的方法，但是对于一些特殊类型的方程，这种变量代换却有固定的形式。

下面介绍几类这样的方程。

2.1 一阶齐次方程 1. 形如)(by ax f dxdy+=的齐次方程（其中b a ,()0≠b )为常数） 作变量代换，by ax u +=可将方程化为分离变量方程，将by ax u +=和dx dy b a dx du +=代入方程，整理后可得：)(u bf a dxdu +=例2 解方程()()032412=++-++dy x y dx x y 解 将方程整理后可得3)2(21)2(++++=x y x y dx dy 故令x y u +=2，带入后可得3254++=u u dx du 分离变量后，两边积分可得 C x u u +=++8454ln 再代回原变量，得方程的通解为 C x u u +=++8454ln2. 形如⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy 的齐次方程 作变量代换xyu =，则dx du x u dx dy +=，代回原方程，整理后可得()u u f dx du x -此时方程转化为分离变量方程，故可求出其通解。

例3 解方程y x y x dx dy 2332++=解 令xyu 可得ux y =，代入方程得()32122+-=u u dx du x 分离变量，再积分，化简整理可得()()114+=-u c u x , 再代回原变量，得原方程的通解()()⎪⎭⎫⎝⎛+=-x y c x y 5注: 该类型还可以推广到形如()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y f x g x y dx dy2.2 伯努利方程形如n y x Q y x P dx dy )()(=+()1,0≠n ① 的方程称为伯努力方程。

注： 此方程的特点是未知函数的导数仍是一次的，但未知函数出现n 次方，1≠n 时为非线性的.我们也可通过适当的变量替换，化为线性的微分方程。

求解方法为： 将方程①的两端同乘以n y -，得 )()(1x Q y x P dxdyy n n =+--， 设变量替换 n y z -=1，则dx dy y n dx dz n --=)1(，即 dxdz n dx dy y n -=-11；代入原方程，得 )()(11x Q z x P dx dz n =+-，即 )()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+，这是一个非齐次线性微分方程.按非齐次线性微分方程的求解方法求出通解；再以n y z -=1换回原变量，即为所求. 例4 求微分方程2)(ln y x a xydx dy =+的通解. 解 这是一个伯努力方程.以2-y 乘方程的两端，得 )(ln 112x a y xdx dy y =+-- ， 于是，令 1-=y z ，则dx dy y dx dz 2--=，即 dxdz dx dy y -=-2，代入原方程，得x a z xdx dz ln 1=+-， 或x a z xdx dz ln 1-=-，这是一个一阶非齐次线性微分方程.按照非齐次线性微分方程的常数变易法可求其通解。

2.3 二阶线性微分方程 形如f qy p y y =++'"（1）其中f q p 、、都是已知的连续函数,为二阶线性微分方程的一般形式。

0'"=++qy p y y（2）称为与之对应的齐次方程。

对于上两方程有下面两定理： 定理 1 若y1是()2的一个非零解，则由变量代换u y y 1=可求得(1)通解yy c y c y 32211++=其中c 1，c 2是任意常数且dx e y y y pdz ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=--⎰2112(3) dx e y e y y ypdx pdx ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰=--12112(4) 证明 设u yy1=是(1)的解，其中是u 待定函数 ，则有u u y y y '+=1'1'，uy u yyy u "1''1"1"2++=将y y y “‘、、代入(1)整y 后并注意y 1解得：y u y y u f p 1'1'"2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ (5) (5)是关于u '的一阶线性微分方程，从而可得：eudx f dx p e y c y y dx y y p ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+•⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1'2121'12'⎰⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰•⎰+⎰=----c e y ey ey c dx dx f dx u pdxpdxpdx2121212 所以(1)的解为y y c y c y u y 322111++==其中y2、y 3分别为（3），（4）可直接验证（3）是的(2)特解又yy12不是常数，所以yy c y c y 32211++=是的通解。

定理2 二阶线性微分方程()()()x f ay dx dyx B dxy d x A =++22其中A ()x >0，a 是常数，可经自变量代换化为常系数线性微分方程的充要条件是：()()()x A c x x B A =-'21，c 为常数，在满足条件下由变换化为()⎪⎭⎫ ⎝⎛=++-t f ay dxdyckd d ty kϕ1222，k 可取任意非零实数 (6)证明 ①在满足条件下将变换()()⎰==x dx x A kt ϕ1代人（6）可验证结论正确。

② 若可把（6）化为：()t F y dtdyd ya a td=++2122(7) 把()x t ϕ=代入(7)得：()x dx dy dt dx dx dy dt dy ϕ'1•=•= ()()dxdyd y d yx x x d t dx•+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡ϕϕ'221'11'22222(8) 从而由于(7)和(8)是通解方程，所以把()()⎰=x A dxk x ϕ代入后一个等式可得()()c k a x A x B =='-1212.31 二阶常系数线性微分方程形如ey y xqy p α=++'"（其中p ，q 为常数） (9)的微分方程称为二阶常系数微分方程。

像这样的方程总可以经过变量代换e xA z y α-=将原方程(9)转化成关于Z 的线性齐次方程，其中A 是可以确定的待定常数，事实上，由于方程(9)有形如e xA α形式的特解，所以令e xA z y α-=则有e zy xA αα-=''，ezy xA αα2""-=将这三个式子代入方程(9)得e e e z ezxx x xqA qz pA p A αααααα=-+-+-"2"(10)整理得()[]021'"=++++-+q p A eqz z z xp ααα (11)要使方程称为齐次方程，当且仅当()[]021'=+++q p A exααα从而qp A ++-=αα21(12)容易看出，当α不是对应其次线性方程的特征方程02=++q p λλ的根，用(12)式所确定的A 代替变量代换中的A 后，方程可化⑴为一个齐次方程。

当α为特征方程的一个单根或重跟式，同理可得： ① α为单根时，pA +-=α21② α为重跟时，21-=A综上可得一下定理和推论：定理3 若α不是特征方程的根，则方程e y yxqy p α=++'"可经过变量代换e xqp z y ααα+++=21转化成Z 的齐次方程。

推论 1 若α是特征方程的单根时，则方程e y yxqy p α=++'"可经过变量代换e xx qp z y ααα+++=21[其中()q p p ++=+αααα222']转化成Z 的齐次方程。

推论 2 若α是特征方程的重根时，则方程e y yxqy p α=++'"可经过变量代换e x xqp z y ααα221+++=[其中()q p ++=ααα221"]转化成Z 的齐次方程。

对方程()C Bx A qy p x ey yx++=++2'"α (13)当α不是特征方程的根时，方程(13)有形如()F Ex D x e x ++2α形式的特解，于是可令()F Ex D z y x e x ++-=2α做法同前面一样，代入中并整理得()[]()()[]()()022222222'"=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+++++++++++++++-++e x Z Z xc D p q p F x B p D q P E A q p D qZ P ααααααααα于是令：()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++022*******C D p e q P F B p D q p E A q P D αααααααα得：qp AD ++-=αα2()()()q p qp B P A E ++++-+=ααααα22222F=()()()()()()()q p p q p q p p q P B AC q p A ++++++++++-+-++αααααααααααα2222223223222定理4 如α不是特征根，则方程()C Bx A qy p x ey y x++=++2'"α，总可经过变量代换：()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+-+++++-++++--=+++++++++q p p q p q p q p x e p q p B A C q p A q p B p A q p A z y x αααααααααααααααααααα22222222232232222222转化为关于Z 的齐次方程。