2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)(一)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|﹣x2+4x≥0},,C={x|x=2n,n∈N},则(A∪B)∩C=()A.{2,4}B.{0,2}C.{0,2,4}D.{x|x=2n,n∈N}2.(5分)设i是虚数单位,若,x,y∈R,则复数x+yi的共轭复数是()A.2﹣i B.﹣2﹣i C.2+i D.﹣2+i3.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4+a5+a6+a7=18,则下列命题正确的是()A.a5是常数B.S5是常数C.a10是常数D.S10是常数4.(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A.B.C.D.5.(5分)已知点F为双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点,直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.6.(5分)已知函数则()A.2+πB.C.D.7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为()A.B.C.D.8.(5分)已知函数(ω>0)的相邻两个零点差的绝对值为,则函数f(x)的图象()A.可由函数g(x)=cos4x的图象向左平移个单位而得B.可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移个单位而得C.可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移个单位而得D.可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移个单位而得9.(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为()A.﹣73 B.﹣61 C.﹣55 D.﹣6310.(5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,则该几何体的外接球的表面积是()A.B.C.D.11.(5分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16 B.20 C.24 D.3212.(5分)若函数y=f(x),x∈M,对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数x,都有af(x)=f(x+T)恒成立,此时T为f(x)的类周期,函数y=f(x)是M上的a级类周期函数.若函数y=f(x)是定义在区间[0,+∞)内的2级类周期函数,且T=2,当x∈[0,2)时,函数.若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,+∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知向量,,且,则=.14.(5分)已知x,y满足约束条件则目标函数的最小值为.15.(5分)在等比数列{a n}中,a2•a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设b n=a2n ﹣a2n,n∈N*,则数列{b n}的前2n项和为.﹣116.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,,点E是线段CD上异于点C,D的动点,EF⊥AD于点F,将△DEF沿EF折起到△PEF 的位置,并使PF⊥AF,则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边a,b,c分别满足c=2b=2,2bcosA+acosC+ccosA=0,又点D满足.(1)求a及角A的大小;(2)求的值.18.(12分)在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠A1AB=∠A1AD=60°.(1)求证:BD⊥CC1;(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.19.(12分)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率;②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附:①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为;②若,则P(μ﹣σ<Z≤μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z≤μ+2σ)=0.9544.20.(12分)已知椭圆C:的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx+2与椭圆C相交于A,B两点,在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值?若存在,求出点D坐标及该定值,若不存在,试说明理由.21.(12分)已知函数f(x)=e x﹣2(a﹣1)x﹣b,其中e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围;(2)已知函数g(x)=e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,且g(1)=0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a是大于0的常数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为.(1)求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程;(2)分别记直线l:,ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A,B,若圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|2x+1|.(1)求不等式f(x)≤10﹣|x﹣3|的解集;(2)若正数m,n满足m+2n=mn,求证:f(m)+f(﹣2n)≥16.2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)(一)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|﹣x2+4x≥0},,C={x|x=2n,n∈N},则(A∪B)∩C=()A.{2,4}B.{0,2}C.{0,2,4}D.{x|x=2n,n∈N}【分析】由二次不等式的解法和指数不等式的解法,化简集合A,B,再由并集和交集的定义,即可得到所求集合.【解答】解:A={x|﹣x2+4x≥0}={x|0≤x≤4},={x|3﹣4<3x<33}={x|﹣4<x<3},则A∪B={x|﹣4<x≤4},C={x|x=2n,n∈N},可得(A∪B)∩C={0,2,4},故选C.2.(5分)设i是虚数单位,若,x,y∈R,则复数x+yi的共轭复数是()A.2﹣i B.﹣2﹣i C.2+i D.﹣2+i【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案.【解答】解:由,得x+yi==2+i,∴复数x+yi的共轭复数是2﹣i.故选:A.3.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4+a5+a6+a7=18,则下列命题正确的是()A.a5是常数B.S5是常数C.a10是常数D.S10是常数【分析】推导出a1+a10=9,从而=45.【解答】解:∵等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4+a5+a6+a7=18,∴a4+a5+a6+a7=2(a1+a10)=18,∴a1+a10=9,∴=45.故选:D.4.(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A.B.C.D.【分析】设边长AB=2,求出△BCI和平行四边形EFGH的面积,计算对应的面积比即可.【解答】解:设AB=2,则BC=CD=DE=EF=1,=××=,∴S△BCIS平行四边形EFGH=2S△BCI=2×=,∴所求的概率为P===.故选:A.5.(5分)已知点F为双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点,直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【分析】设出双曲线的右焦点和渐近线方程,可得将交点A的坐标,运用中点坐标公式,可得中点坐标,代入双曲线的方程,结合离心率公式,计算即可得到所求值.【解答】解:设双曲线C:的右焦点F(c,0),双曲线的渐近线方程为y=x,由x=a代入渐近线方程可得y=b,则A(a,b),可得AF的中点为(,b),代入双曲线的方程可得﹣=1,可得4a2﹣2ac﹣c2=0,由e=,可得e2+2e﹣4=0,解得e=﹣1(﹣1﹣舍去),故选:D.6.(5分)已知函数则()A.2+πB.C.D.【分析】由=∫cos2tdt==,得到=()+(﹣cosx),由此能求出结果.【解答】解:∵,=∫cos2tdt===,∴=()+(﹣cosx)=﹣2.故选:D.7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为()A.B.C.D.【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,可得答案.【解答】解:第1次循环后,S=,不满足退出循环的条件,k=2;第2次循环后,S=,不满足退出循环的条件,k=3;第3次循环后,S==2,不满足退出循环的条件,k=4;…第n次循环后,S=,不满足退出循环的条件,k=n+1;…第2018次循环后,S=,不满足退出循环的条件,k=2019第2019次循环后,S==2,满足退出循环的条件,故输出的S值为2,故选:C8.(5分)已知函数(ω>0)的相邻两个零点差的绝对值为,则函数f(x)的图象()A.可由函数g(x)=cos4x的图象向左平移个单位而得B.可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移个单位而得C.可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移个单位而得D.可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移个单位而得【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式,再根据正弦函数的零点求出ω,可得函数解析式,再利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.【解答】解:函数=sin(2ωx)﹣•+=sin(2ωx﹣)(ω>0)的相邻两个零点差的绝对值为,∴•=,∴ω=2,f(x)=sin(4x﹣)=cos[(4x﹣)﹣]=cos(4x ﹣).故把函数g(x)=cos4x的图象向右平移个单位,可得f(x)的图象,故选:B.9.(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为()A.﹣73 B.﹣61 C.﹣55 D.﹣63【分析】求出展开式中所有各项系数和,以及展开式中的常数项,再求展开式中剔除常数项后的各项系数和.【解答】解:展开式中所有各项系数和为(2﹣3)(1+1)6=﹣64;=(2x﹣3)(1+++…),其展开式中的常数项为﹣3+12=9,∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为﹣64﹣9=﹣73.故选:A.10.(5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,则该几何体的外接球的表面积是()A.B.C.D.【分析】可得该几何体是六棱锥,底面是正六边形,有一条侧面垂直底面.过底面中心N作底面垂线,过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线,两垂线的交点即为球心,根据三视图的数据求出球的半径即可.【解答】解:如图,可得该几何体是六棱锥P﹣ABCDEF,底面是正六边形,有一PAF侧面垂直底面,且P在底面的投影为AF中点,过底面中心N作底面垂线,过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线,两垂线的交点即为球心O,设△PAF的外接圆半径为r,,解得r=,∴,则该几何体的外接球的半径R=,∴表面积是则该几何体的外接球的表面积是S=4πR2=.故选:C.11.(5分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16 B.20 C.24 D.32【分析】设直线l1,l2的方程,则,将直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理及抛物线的焦点弦性质,即可求得|AB|+|DE|,利用基本不等式的性质,即可求得|AB|+|DE|的最小值.【解答】解:抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),设直线l1:y=k1(x﹣1),直线l2:y=k2(x﹣1),由题意可知,则,联立,整理得:k12x2﹣(2k12+4)x+k12=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,设D(x3,y3),E(x4,y4),同理可得:x3+x4=2+,由抛物线的性质可得:丨AB丨=x1+x2+p=4+,丨DE丨=x3+x4+p=4+,∴|AB|+|DE|=8+==,当且仅当=时,上式“=”成立.∴|AB|+|DE|的最小值24,故选:C.12.(5分)若函数y=f(x),x∈M,对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数x,都有af(x)=f(x+T)恒成立,此时T为f(x)的类周期,函数y=f(x)是M上的a级类周期函数.若函数y=f(x)是定义在区间[0,+∞)内的2级类周期函数,且T=2,当x∈[0,2)时,函数.若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,+∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.【分析】根据题意,由函数f(x)在[0,2)上的解析式,分析可得函数f(x)在[0,2)上的最值,结合a级类周期函数的含义,分析可得f(x)在[6,8]上的最大值,对于函数g(x),对其求导分析可得g(x)在区间(0,+∞)上的最小值;进而分析,将原问题转化为g(x)min≤f(x)max的问题,即可得+m≤8,解可得m的取值范围,即可得答案.【解答】解:根据题意,对于函数f(x),当x∈[0,2)时,,分析可得:当0≤x≤1时,f(x)=﹣2x2,有最大值f(0)=,最小值f(1)=﹣,当1<x<2时,f(x)=f(2﹣x),函数f(x)的图象关于直线x=1对称,则此时有﹣<f(x)<,又由函数y=f(x)是定义在区间[0,+∞)内的2级类周期函数,且T=2;则在∈[6,8)上,f(x)=23•f(x﹣6),则有﹣12≤f(x)≤4,则f(8)=2f(6)=4f(4)=8f(2)=16f(0)=8,则函数f(x)在区间[6,8]上的最大值为8,最小值为﹣12;对于函数,有g′(x)=﹣+x+1==,分析可得:在(0,1)上,g′(x)<0,函数g(x)为减函数,在(1,+∞)上,g′(x)>0,函数g(x)为增函数,则函数g(x)在(0,+∞)上,由最小值f(1)=+m,若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,+∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,必有g(x)min≤f(x)max,即+m≤8,解可得m≤,即m的取值范围为(﹣∞,];故选:B.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知向量,,且,则=.【分析】根据题意,由向量数量积的坐标计算公式可得•=2sinα﹣cosα=0,则有tanα=,结合同角三角函数的基本关系式分析可得sinα、cosα的值,即可得的坐标,向量模的计算公式计算可得答案.【解答】解:根据题意,向量,,若,则•=2sinα﹣cosα=0,则有tanα=,又由sin2α+cos2α=1,则有或,则=(,)或(﹣,﹣),则||=,则=2+2﹣2•=;故答案为:14.(5分)已知x,y满足约束条件则目标函数的最小值为.【分析】由约束条件作出可行域,令t=5x﹣3y,化为y=,求出其最小值,即可求得目标函数的最小值.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得A(2,4),=,令t=5x﹣3y,化为y=,由图可知,当直线y=过A时,直线在y轴上的截距最大,t有最小值为﹣2.∴目标函数的最小值为.故答案为:.15.(5分)在等比数列{a n}中,a2•a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设b n=a2n ﹣a2n,n∈N*,则数列{b n}的前2n项和为.﹣1【分析】首先求出数列的通项公式,进一步利用等比数列的前n项和公式求出结果.【解答】解:等比数列{a n}中,a2•a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设首项为a1,公比为q,则:,整理得:,解得:.则:,所以:b n=a2n﹣1﹣a2n==﹣22n﹣4,则:T2n==.故答案为:.16.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,,点E是线段CD上异于点C,D的动点,EF⊥AD于点F,将△DEF沿EF折起到△PEF 的位置,并使PF⊥AF,则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为(0,).【分析】设DF=x,得出棱锥的体积V关于x的函数,再根据函数单调性和x的范围得出结论.【解答】解:∵PF⊥AF,PF⊥EF,AF∩EF=F,∴PF⊥平面ABCD.设PF=x ,则0<x <1,且EF=DF=x .∴五边形ABCEF 的面积为S=S 梯形ABCD ﹣S △DEF =×(1+2)×1﹣x 2=(3﹣x 2). ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积V=(3﹣x 2)x=(3x ﹣x 3),设f (x )=(3x ﹣x 3),则f′(x )=(3﹣3x 2)=(1﹣x 2), ∴当0<x <1时,f′(x )>0,∴f (x )在(0,1)上单调递增,又f (0)=0,f (1)=. ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的范围是(0,). 故答案为:.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c 分别满足c=2b=2,2bcosA +acosC +ccosA=0,又点D 满足.(1)求a 及角A 的大小; (2)求的值.【分析】(1)运用正弦定理和诱导公式、两角和的正弦公式,化简可得角A 的值,再由余弦定理,可得a ;(2)运用向量数量积的定义和性质:向量的平方即为模的平方,计算即可得到所求值.【解答】解:(1)由2bcosA +acosC +ccosA=0及正弦定理得 ﹣2sinBcosA=sinAcosC +cosAsinC , 即﹣2sinBcosA=sin (A +C )=sinB , 在△ABC 中,sinB >0,所以.又A∈(0,π),所以.在△ABC中,c=2b=2,由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=7,所以.(2)由,得=,所以.18.(12分)在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠A1AB=∠A1AD=60°.(1)求证:BD⊥CC1;(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.【分析】(1)连接A1B,A1D,AC,则△A1AB和△A1AD均为正三角形,设AC与BD的交点为O,连接A1O,则A1O⊥BD,由四边形ABCD是正方形,得AC⊥BD,从而BD⊥平面A1AC.进而BD⊥AA1,由此能证明BD⊥CC1.(2)推导出A1B⊥A1D,A1O⊥AO,A1O⊥BD,从而A1O⊥底面ABCD,以点O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系O﹣xyz,利用向量法能求出当E为D1C1的中点时,直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.【解答】解:(1)连接A1B,A1D,AC,因为AB=AA1=AD,∠A1AB=∠A1AD=60°,所以△A1AB和△A1AD均为正三角形,于是A1B=A1D.设AC与BD的交点为O,连接A1O,则A1O⊥BD,又四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,而A1O∩AC=O,所以BD⊥平面A1AC.又AA1⊂平面A1AC,所以BD⊥AA1,又CC1∥AA1,所以BD⊥CC1.(2)由,及,知A1B⊥A1D,于是,从而A1O⊥AO,结合A1O⊥BD,AO∩AC=O,得A1O⊥底面ABCD,所以OA、OB、OA1两两垂直.如图,以点O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系O ﹣xyz,则A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,﹣1,0),A1(0,0,1),C(﹣1,0,0),,,,由,得D1(﹣1,﹣1,1).设(λ∈[0,1]),则(x E+1,y E+1,z E﹣1)=λ(﹣1,1,0),即E(﹣λ﹣1,λ﹣1,1),所以.设平面B1BD的一个法向量为,由得令x=1,得,设直线DE与平面BDB1所成角为θ,则,解得或(舍去),所以当E为D1C1的中点时,直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.19.(12分)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率;②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附:①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为;②若,则P(μ﹣σ<Z≤μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z≤μ+2σ)=0.9544.【分析】(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为.(2)①P(14.55<Z<38.45)=P(26.5﹣11.95<Z<26.5+11.95)=0.6826,②根据题意得X~B(4,),;;;;.即可求得X的分布列、期望值.【解答】解:(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为.(2)①∵Z服从正态分布N(μ,σ2),且μ=26.5,σ≈11.95,∴P(14.55<Z<38.45)=P(26.5﹣11.95<Z<26.5+11.95)=0.6826,∴Z落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826.②根据题意得X~B(4,),;;;;.∴X的分布列为X01234P∴.20.(12分)已知椭圆C:的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx+2与椭圆C相交于A,B两点,在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值?若存在,求出点D坐标及该定值,若不存在,试说明理由.【分析】(1)根据题意,由椭圆的几何性质分析可得,解可得a、b的值,将a、b的值代入椭圆的方程,即可得答案;(2)联立直线与椭圆的标准方程可得(1+2k2)x2+8kx+6=0,分析可得△可得k 的范围,设存在点D(0,m),由此表示K AD与K BD,由根与系数的关系分析可得只需6k﹣4k(2﹣m)=6k﹣8k+4mk=2(2m﹣1),据此分析可得答案.【解答】解:(1)由已知可得解得a2=2,b2=c2=1,所求椭圆方程为.(2)由得(1+2k2)x2+8kx+6=0,则△=64k2﹣24(1+2k2)=16k2﹣24>0,解得或.设A(x1,y1),B(x2,y2),则,,设存在点D(0,m),则,,所以==.要使k AD+k BD为定值,只需6k﹣4k(2﹣m)=6k﹣8k+4mk=2(2m﹣1),k与参数k无关,故2m﹣1=0,解得,当时,k AD+k BD=0.综上所述,存在点,使得k AD+k BD为定值,且定值为0.21.(12分)已知函数f(x)=e x﹣2(a﹣1)x﹣b,其中e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围;(2)已知函数g(x)=e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,且g(1)=0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.【分析】(1)根据题意,由函数的解析式计算可得f'(x),由函数的导数与函数单调性的关系,分2种情况分析讨论,求出a的取值范围,综合即可得答案;(2)根据题意,对g(x)求导分析可得f(x)=g'(x),由g(0)=g(1)=0,知g(x)在区间(0,1)内恰有一个零点,由(1)的结论,分析g(x)的极值,综合即可得答案.【解答】解:(1)根据题意,函数f(x)=e x﹣2(a﹣1)x﹣b,其导数为f'(x)=e x﹣2(a﹣1),当函数f(x)在区间[0,1]上单调递增时,f'(x)=e x﹣2(a﹣1)≥0在区间[0,1]上恒成立,∴2(a﹣1)≤(e x)min=1(其中x∈[0,1]),解得;当函数f(x)在区间[0,1]单调递减时,f'(x)=e x﹣2(a﹣1)≤0在区间[0,1]上恒成立,∴2(a﹣1)≥(e x)max=e(其中x∈[0,1]),解得.综上所述,实数a的取值范围是.(2)函数g(x)=e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,则g'(x)=e x﹣2(a﹣1)x﹣b,分析可得f(x)=g'(x).由g(0)=g(1)=0,知g(x)在区间(0,1)内恰有一个零点,设该零点为x0,则g(x)在区间(0,x0)内不单调,所以f(x)在区间(0,x0)内存在零点x1,同理,f(x)在区间(x0,1)内存在零点x2,所以f(x)在区间(0,1)内恰有两个零点.由(1)知,当时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,故f(x)在区间(0,1)内至多有一个零点,不合题意.当时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,故f(x)在(0,1)内至多有一个零点,不合题意;所以.令f'(x)=0,得x=ln(2a﹣2)∈(0,1),所以函数f(x)在区间[0,ln(2a﹣2)]上单调递减,在区间(ln(2a﹣2),1]上单调递增.记f(x)的两个零点为x1,x2(x1<x2),因此x1∈(0,ln(2a﹣2)],x2∈(ln(2a﹣2),1),必有f(0)=1﹣b>0,f (1)=e﹣2a+2﹣b>0.由g(1)=0,得a+b=e,所以,又f(0)=a﹣e+1>0,f(1)=2﹣a>0,所以e﹣1<a<2.综上所述,实数a的取值范围为(e﹣1,2).请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a是大于0的常数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为.(1)求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程;(2)分别记直线l:,ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A,B,若圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长.【分析】(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.(2)直接利用圆与圆的其位置关系求出相关的等量,并求出极径的长.【解答】解:(1)圆C1:(θ是参数)消去参数θ,得其普通方程为(x+1)2+(y+1)2=a2,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式并化简,得圆C1的极坐标方程,由圆C2的极坐标方程,得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ.将x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2代入上式,得圆C2的直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.(2)由(1)知圆C1的圆心C1(﹣1,﹣1),半径r1=a;圆C2的圆心C2(1,1),半径,,∵圆C1与圆C2外切,∴,解得,即圆C1的极坐标方程为.将代入C1,得,得;将代入C2,得,得;故.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|2x+1|.(1)求不等式f(x)≤10﹣|x﹣3|的解集;(2)若正数m,n满足m+2n=mn,求证:f(m)+f(﹣2n)≥16.【分析】(1)通过讨论x的范围,得到关于x的不等式组,解出即可;(2)求出m+2n≥8,求出f(m)+f(﹣2n)的最小值即可.【解答】解:(1)此不等式等价于或或解得或或3<x≤4.即不等式的解集为.(2)证明:∵m>0,n>0,m+2n=mn,,即m+2n ≥8,当且仅当即时取等号.∴f(m)+f(﹣2n)=|2m+1|+|﹣4n+1|≥|(2m+1)﹣(﹣4n+1)|=|2m+4n|=2(m+2n)≥16,当且仅当﹣4n+1≤0,即时,取等号.∴f(m)+f(﹣2n)≥16.。