2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列（综合题）一、解答题（共10题；共85分）1.（2019•江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”. （1）已知等比数列{a n } 满足： ，求证:数列{a n }为“M －数列”；(n ∈N *)a 2a 4=a 5,a 3−4a 2+4a 4=0（2）已知数列{b n }满足:，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．b 1=1,1S n=2b n −2b n +1①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n } ，对任意正整数k ， 当k ≤m 时，都有(n ∈N*) 成立，求m 的最大值．c k ⩽b k ⩽c k +12.已知等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 {a n }d ∈(0,π]{b n }b n =sin(a n ) ．S ={x|x =b n ,n ∈N *} （1）若，求集合 ；a 1=0,d =2π3S （2）若，求 使得集合 恰好有两个元素；a 1=π2d S（3）若集合 恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值．S 3.（2019•浙江）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 3=4.a 4=S 3 ， 数列{b n }满足： 对每个n ∈N * ， S n +b n ， S n+1+b n 、S n+2+b n 成等比数列（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式（2）记C n =，n ∈N * ， 证明：C 1+C 2+…+C n ＜2 ，n ∈N *a n2b nn 4.（2019•天津）设 是等差数列， 是等比数列，公比大于0，已知 ， {a n }{b n }a 1=b 1=3b 2=a 3 ， .b 3=4a 2+3（Ⅰ）求 和 的通项公式；{a n }{b n }（Ⅱ）设数列 满足 求 .{c n }c n ={1,n为奇数b n 2,n为偶数a 1c 1+a 2c 2+⋯+a 2n c 2n (n ∈N*)5.（2019•天津）设 是等差数列， 是等比数列.已知 {a n }{b n } . a 1=4,b 1=6 ， b 2=2a 2−2,b 3=2a 3+4（Ⅰ）求 和 的通项公式；{a n }{b n }（Ⅱ）设数列 满足其中 .{c n }c 1=1,c n ={1, 2k <n <2k+1,b k ,n =2k ,k ∈N*（i ）求数列 的通项公式；{a 2n (c 2n −1)}（ii ）求.∑2n i=1a i c i (n ∈N*)6.（2019•卷Ⅱ）已知 是各项均为正数的等比数列， ， 。

{a n }a 1=2a 3=2a 2+16（1）求 的通项公式；{a n }（2）设 ，求数列{ }的前n 项和。

b n =log 2a n b n 7.（2019•北京）设{a n }是等差数列，a 1=-10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列. （I ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ， 求S n 的最小值.8.（2019•卷Ⅱ）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0， ， .4a n +1=3a n −b n +44b n+1=3b n −a n −4（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.9.（2019•北京）已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项…第i m 项（i 1<i 2<…<i m ）.若a i1<a i2<…<a im .则称新数列a i1 ， a i2 ， …，a im .为{a n }的长度为m 的递增子列.规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列.（I ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（II ）已知数列{a n }的长度为P 的递增子列的末项的最小值为a m0 ， 长度为q 的递增子列的末项的最小值为a n0 ， 若p<q ，求证：a m0<a n0；（III ）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等。

若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s 末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个（s=1.2.…），求数列{a n }的通项公式。

10.（2019•卷Ⅰ）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S n =-a 5 （1）若a 3=4，求{a n }的通项公式。

（2）若a 1≥0，求使得S n ≥a n 的n 取值范围。

答案解析部分一、解答题1.【答案】 （1）解：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0.由 ，得 ，解得 ．{a 2a 4=a 5a 3−4a 2+4a 1=0{a 21q 4=a 1q 4a 1q 2−4a 1q +4a 1=0{a 1=1q =2因此数列 为“M—数列”.{a n }（2）解：①因为，所以 ． 1S n=2b n −2b n +1b n ≠0由 得 ，则 .b 1=1,S 1=b 111=21−2b2b 2=2由，得，1S n=2b n −2b n +1S n =b n b n+12(b n+1−b n )当 时，由 ，得 ，n ≥2b n =S n −S n −1b n =b n b n +12(b n+1−b n )−b n −1b n2(b n−bn −1)整理得 ．b n +1+b n −1=2b n 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{b n }的通项公式为b n =n .(n ∈N *)②由①知，b k =k ， .k ∈N*因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ， 所以c 1=1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1 ， 所以 ，其中k =1，2，3，…，m .q k −1≤k ≤q k 当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有．lnk k≤lnq ≤lnk k −1设f （x ）= ，则．lnx x(x>1)f '(x)=1−lnx x 2令 ，得x =e.列表如下：f '(x)=0x (1,e)e (e ，+∞) f '(x)+0–f （x ）极大值因为，所以．ln22=ln86<ln96=ln33f(k)max =f(3)=ln33取 ，当k =1，2，3，4，5时，，即 ，q =33lnkk ⩽lnq k ≤q k经检验知 也成立．q k −1≤k 因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3 ， 且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5．2.【答案】 （1）解： 等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集∵{a n }d ∈(0,π]{b n }b n =sin(a n )合 ．S ={x|x =b n ,n ∈N *} 当，∴a 1=0,d =2π3集合 ．S ={−32,0,32}（2）解：，数列 满足 ，集合 恰好有两∵a 1=π2{b n }b n =sin(a n )S ={x|x =b n ,n ∈N*}个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列 的终边落在 轴的正负半轴上时，集合 恰好有两个元素，此时 {a n }y S ，d =π② 终边落在 上，要使得集合 恰好有两个元素，可以使 ， 的终边关于 轴对称，如图 a 1OA S a 2a 3y ， ，OB OC此时，d =2π3综上，或者 ．d =2π3d =π（3）解：①当 时， ，集合 ，符合题意．T =3b n +3=b n S ={b 1,b 2,b 3}②当 时， ， ， ，或者 T =4b n +4=b n sin(a n +4d)=sina n a n +4d =a n +2kπ ，a n +4d =2kπ−a n 等差数列 的公差 ，故 ，，又 {a n }d ∈(0,π]a n +4d =a n +2kπd =kπ2∴k =1,2当 时满足条件，此时 ．k =1S ={−1,0,1}③当 时， ， ， ，或者 T =5b n +5=b n sin(a n +5d)=sina n a n +5d =a n +2kπ ，因为 ，故 ．a n +5d =2kπ−a n d ∈(0,π]k =1,2当 时，满足题意．k =1S ={sin π10,1,−sin π10}④当 时， ， ，T =6b n +6=b n sin(a n +6d)=sina n 所以 或者 ， ，故 ．a n +6d =a n +2kπa n +6d =2kπ−a n d ∈(0,π]k =1,2,3当 时，，满足题意．k =1S ={32,1,32}⑤当 时， ， ，所以 ，或者T =7b n +7=b n sin(a n +7d)=sina n a n +7d =a n +2kπ， ， ，故 a n +7d =2kπ−a n d ∈(0,π]k =1,2,3当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 k =1b 1∼b 7a m −a n =2π，， ， ，不符合条件．d =2πm −n=2π7m −n =7m >7当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 K =2b 1∼b 7a m −a n =2π，， 不是整数，不符合条件．d =2πm −n=4π7m −n 当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 K =3b 1∼b 7a m −a n =2π或者 ，，或者，此时， 均不是整数，不符合题意．4πd =2πm −n=6π7d =4πm −n=6π7m −n 综上， ．T =3,4,5,63.【答案】 （1）设数列 的公差为d ， 由题意得 {a n } ，a 1+2d =4,a 1+3d =3a 1+3d 解得 ．a 1=0,d =2从而 ．a n =2n −2,n ∈N *由 成等比数列得S n +b n ,S n +1+b n ,S n+2+b n ．(S n +1+b n )2=(S n +b n )(S n+2+b n )解得．b n =1d (S 2n+1−S n S n +2)所以 ．b n =n 2+n,n ∈N*（2）．c n =a n 2b n=2n −22n(n +1)=n −1n(n +1),n ∈N *我们用数学归纳法证明．⑴当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；⑵假设 时不等式成立，即 ．n =k(k ∈N *)c 1+c 2+⋯+c h <2k 那么，当 时，n =k +1c 1+c 2+⋯+c k +c k +1<2k +k(k +1)(k +2)<2k +1k +1．<2k +2k +1+k=2k +2(k +1−k)=2k +1即当 时不等式也成立．n =k +1根据（1）和（2），不等式 对任意 成立．c 1+c 2+⋯+c n <2n n ∈N*4.【答案】 解：（Ⅰ）解：设等差数列 的公差为d ，等比数列 的公比为q 依题意，得 {a n }{b n } ，解得 ，故 . {3q =3+2d 3q 2−15+4d {d =3q =3a n =3+3(n −1)=3n,b n =3×3n −1=3n 所以， 的通项公式为 ， 的通项公式 为 .{a n }a n =3n {b n }b n =3n（Ⅱ）解：a 1c 1+a 2c 2+⋯+a 2n c 2n = (a 1+a 3+a 5+⋯+a 2n −1)+(a 2b 1+a 4b 2+a 6b 3+⋯+a 2n b n )=[n ×3+n(−1)2×6]+(6×31+12×32+18×33+⋯+6n ×3n )=3n 2+6(1×31+2×32+⋯+n ×3n ) . ①T n =1×31+2×32+⋯+n ×3n ， ②3T n =1×32+2×33+⋯+n ×33+1②-①得， .=2T n =−3−32−⋯−3n +n ×3n+1=−3(1−3n )1−3=(2n −1)3n+1+32所以，a 1c 1+a 2c 2+⋯+a 2n c 2n =3n 2+6T n =3n 2+3×(2n −1)3n+1+32=(2n −1)3n +2+6n 2+92(n ∈N*)5.【答案】 解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .依题意得 {a n }d {b n }q 解得 故 . {6q =6+2d,6q 2=12+4d,{d =3,q =2,a n =4+(n −1)×3=3n +1, b n =6×2n −1=3×2n 所以， 的通项公式为 的通项公式为 .{a n }a n =3n +1, {b n }b n =3×2n（Ⅱ）（i ） .a 2n (c 2n −1)=a 2x (b n −1)=(3×2n +1)(3×2n −1)=9×4n −1所以，数列 的通项公式为 .{a 2n (c 2n −1)}a 2n (c 2n −1)=9×4n −1（ii ）∑2ni=1a i ci=∑2ni =1[a i+a i (c i −1)]=∑2ni=1a i+∑ni =1a 2i (c 2i −1) =(2n ×4+2n (2n −1)2×3)+∑ni =1(9×4i −1)=(3×22n −1+5×2n −2)+9×4(1−4n )1−4−n=27×22n −1+5×2n −1−n −12 (n ∈N*)6.【答案】 （1）解：设 的公比为q ，由题设得{a n } ，即 .2q 2=4q +16q 2−2q −8=0解得 （舍去）或q=4.q =−2因此 的通项公式为 .{a n }a n =2×4n −1=22n −1（2）由（1）得 ，因此数列 的前n 项和为 .b n =(2n −1)log 22=2n −1{b n }1+3+⋯+2n −1=n 27.【答案】 解：（I ）根据三者成等比数列，可知 ，(a 3+8)2=(a 2+10)(a 4+6)故 ，(−10+2d +8)2=(−10+d +10)(−10+3d +6)解得d=2，故 ；a n =−10+2(n −1)=2n −12（Ⅱ）由（I ）知，S n =(−10+2n −12)⋅n2=n 2−11n该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5，故n=5或6时， 取最小值-30.S n 8.【答案】 （1）解：由题设得 ，即 ．4(a n+1+b n+1)=2(a n +b n )a n+1+b n+1=12(a n +b n )又因为a 1+b 1=l ，所以 是首项为1，公比为 的等比数列．{a n +b n }12由题设得 ，4(a n +1−b n +1)=4(a n −b n )+8即 ．a n +1−b n +1=a n −b n +2又因为a 1–b 1=l ，所以 是首项为1，公差为2的等差数列．{a n −b n }（2）由（1）知，， ．a n +b n =12n −1a n −b n =2n −1所以，a n =12[(a n +b n )+(a n −b n )]=12n+n −12．b n =12[(a n +b n )−(a n −b n )]=12n−n +129.【答案】 解：（I ）1,3,5,6或1,3,5,9或1,3,6,9或3,5,6,9或1,5,6,9（写出任意一个即可）；（II ）设数列 的长度为q 的一个递增数列为 且 ；{a n }a i1,a i2,a i3,...,a iq,a iq =a n0设数列 的长度为p 的一个递增数列为 且 ；{a n }a j1,a j2,a j3,...,a jp ,a jp =a m0因为p<q ，所以 ，即 > ;a iq >a jp a n0a m0（III ） （用数学归纳法证明即可）.a n ={n +1,n =2k −1n −1,n =2k (k ∈N∗)10.【答案】 （1）解：设 的公差为d ． {a n }由 得 ．S 9=−a 5a 1+4d =0由a 3=4得 ．a 1+2d =4于是 ．a 1=8,d =−2因此 的通项公式为 ．{a n }a n =10−2n（2）由（1）得 ，故 .a 1=−4d a n=(n −5)d,S n =n(n −9)d2由 知 ，故 等价于 ，解得1≤n ≤10．a 1>0d <0S n ⩾a n n 2−11n +10⩽0所以n 的取值范围是 ．{n|1⩽n ⩽10,n ∈N}。