江西省吉安一中下学期高二年级第二次段考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分） 1. 化简224(1)+ii +的结果是（ ）A. 2i +B. 2i -+C. 2i -D. 2i --2. 设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点（1，(1)g ）处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处切线的斜率为（ ） A. 4 B. 14-C. 2D. 12- 3. 变量X 与Y 相对应的一组数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4）（13,5）；变量U 与V 相对应的一组数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2）（13,1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则（ ） A. 2r ＜1r ＜0 B. 0＜2r ＜1r C. 2r ＜0＜1r D. 2r ＝1r4. 某人制订了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个实行游览。

如果A 、B 为必选城市，并且在游览过程中必须按先A 后B 的次序经过A 、B 两城市（A 、B 两城市能够不相邻），则有不同的游览路线（ ）A. 120种B. 240种C. 480种D. 600种5. 某同学在电脑上实行数学测试，共10道题，答完第n 题（n ＝1,2,3,…,10）电脑都会自动显示前n 题的准确率()f n ，则下列关系不可能成立的是（ ）A. (5)2(10)f f =B. (8)(9)(9)(10)f f f f <=且C. (1)(2)(3)(10)f f f f ====D. (1)(2)(3)(10)f f f f <<<<6. 610(1(1+展开式中的常数项为（ ） A. 1 B. 46 C.4245 D. 42467. 若,,0()4a b c a a b c bc >+++=-且2a b c ++的最小值为（ ）A.1 B. 1 C.2 D. 28. 定义在R 上的函数()f x 满足：()'()1,(0)4f x f x f +>=，则不等式()3x xe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 A. (0,)+∞ B. (,0)(3,)-∞+∞ C. (,0)(0,)-∞+∞ D. (3,)+∞9. 如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向能够构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前n 项之和为n S ，则21S 的值为（ ）A. 66B. 153C. 295D. 36110. 如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动（说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动。

沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续。

类似地，正方形PABC 能够沿x 轴负方向滚动。

向右为顺时针，向左为逆时针）。

设顶点(,)p x y 的轨迹方程是()y f x =，则关于()f x 的最小正周期T 及()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积S 的准确结论是A. 4,1T S π==+B. 2,21T S ππ==+C. 4,21T S π==+D. 2,1T S ππ==+二、填空题（每小题5分，共25分）11. 从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率有 。

12. 若不等式414x x a a+--≥+，对任意的R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 。

13. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是是参数）（θθθ⎩⎨⎧=+=cos 1sin x y ，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为 。

14. 向平面区域{}10,20),(≤≤≤≤y x y x 内随机投入一点，则该点落在曲线⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=)21(2)10(23x x x x y 下方的概率为 。

15. 已知数组),,,(54321a a a a a 是1,2,3,4,5五个数的一个排列，如数组（1,4,3,5,2）是符合题意的一个排列，规定每一个排列只对应一个数组，且在每个数组中有且仅有一个i 使(1,2,3,4,5)i a i i ==，则所有不同的数组中的各数字之和为 。

三、解答题16. （12分）求由x y 42=与直线42-=x y 所围成图形的面积。

17. （12分）某工厂为了对新研发的一种产品实行合理定价，将该产品按事先拟定的价格实行试销，得到如下数据：（1）求回归直线方程a bx y+=ˆ，其中b =－20。

（2）预计在今后的销售中，销售与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入－成本）18. （12分）某电视台举行电视知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式实行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰。

已知选手甲答题的准确率为32。

（1）求选手甲可进入决赛的概率；（2）设选手甲在初赛中答题的个数为X ，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望 19. （12分）已知函数),2()()(2R x a e a ax x x f x∈≤++= （1）当a=1时，求)(x f 的单调区间；（2）是否存有实数a ，使)(x f 的极大值为3？若存有，求出a 的值，若不存有，请说明理由。

20. （13分）已知230123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n N *+=+-+-+-++-≥∈。

（1）当n=5时，求543210a a a a a a +++++的值； （2）设22343,2n n n n a b T b b b b -==++++试用数学归纳法证明：当2n ≥时，(1)(1)3n n n n T +-=21. （14分）已知定义在正实数集上的函数b x a x g ax x x f +=+=ln 3)(,221)(22，其中a>0。

设两曲线)(x f y =，)(x g y =有公共点，且在该点处的切线相同。

（1）用a 表示b ，并求b 的最大值； （2）求证：)0)(()(>≥x x g x f【试题答案】一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 CACDBDDADA二、填空题 11. 292012. 014<≤--≤a a 或 13. θρsin 2= 14.)414(22-π 15. 675三、解答题16. 解：如图，作出曲线x y 42=，42-=x y 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积（2分）由⎩⎨⎧-==4242x y xy 得交点坐标为（1,－2）（4,4），（或答横坐标）4分方法一：阴影部分面积 dx x x dx x S )]42(2[22411⎰⎰--+= 7分412231023)434()34(2x x x x +-+= 10分=9 12分方法二：阴影部分的面积 7分10分9 12分 17. 解： （Ⅰ）5.898.86.84.82.88(61=+++++=）x 80)687580838490(61y =+++++=ˆˆ2080208.525020250a y x yx =+=+⨯=⇒=-+ （Ⅱ）工厂获得利润100033020)4(2-+-=-=x x y x z当433=x 时，25.361max =z （元） （12分） 18. （1）选手甲答3道题进入决赛的概率为278)32(3=；选手甲答4道题进入决赛的概率为2783231)32(223=⋅⋅C选手甲答5道题进入决赛的概率为81163231)32(2224=⋅⋅）（C ；∴选手甲可进入决赛的概率为81648116278278=++=p 。

（6分） （2）依题意，ξ的可能取值为3,4,5，则有31)31()32()3(22=+==ξp 。

27103132)31(3231)32()4(223223=⋅⋅+⋅⋅==C C p ξ， 27831)31()32(32)31()32()5(22242224=⋅⋅+⋅⋅==C C p ξ，所以，有 ξ 34 5p 31 2710 278∴27327278527104313==⋅+⋅+⋅=ξE 12分 19. 解：（Ⅰ）xxxe x x e x xf e x x x f )1()12()(',)1()(22++++=++= xe x x )23(2++=当0)('>x f 时解得2-<x 或1->x ，当0)('<x f 时解得12-<<-x ， 所以函数的单调增区间为),1(),3,(+∞---∞；单调减区间为)1,3(-- （Ⅱ）列表如下：2,2-≥-∴≤a a由表可知解得2342≤-=e a ，所以存有实数a ，使)(x f 的极大值为3 12分 20. （1）当n=5时，原等式变为。

令x=2得。

5分（2）因为所以。

所以。

①当n=2时，左边右边左边=右边，等式成立②假设当n=k （*,2k N k ∈≥）时，等式成立，即那么，当n=k+1时，左边=右边当n=k+1时，等式成立。

12分综合①②，当2≥n 时，。

（13分）21. 解：（Ⅰ）设)(x f y =与)0)((>=x x g y 在公共点),(00y x 处的切线相同。

2分由题意。

即由得a x a x 3,00-==或（舍去）即有。

4分令则。

于是当，即；当，即。

故h(t)在),0(31e 为增函数，在),(31+∞e 为减函数，于是h(t)在),0(+∞的最大值为。

7分（Ⅱ）设10分则。

10分故F(x)在(0，a ）为减函数，在),a (+∞为增函数， 于是函数F(x)在),0(+∞上的最小值是。

故当x>0时，有，即当x>0时，14分。