导数与函数的极值、最值【题型突破】利用导数解决函数的极值问题►考法1根据函数图象判断函数极值的情况【例1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)D►考法2求已知函数的极值【例2】已知函数f(x)＝(x－2)(e x－ax)，当a＞0时，讨论f(x)的极值情况．[解]∵f′(x)＝(e x－ax)＋(x－2)(e x－a)＝(x－1)(e x－2a)，∵a＞0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln 2a.①当a＝e2时，f′(x)＝(x－1)(ex－e)≥0，∴f(x)单调递增，故f(x)无极值．②当0＜a＜e2时，ln 2a＜1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，ln 2a)ln 2a (ln 2a,1)1(1，＋∞) f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值③当a＞e2时，ln 2a＞1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，1)1(1，ln 2a)ln 2a (ln 2a，＋∞) f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值综上，当0＜a ＜e2时，f (x )有极大值－a (ln 2a －2)2，极小值a －e ；当a ＝e2时，f (x )无极值；当a ＞e2时，f (x )有极大值a －e ，极小值－a (ln 2a －2)2.►考法3 已知函数极值求参数的值或范围【例3】 (1)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.(2)若函数f (x )＝e x －a ln x ＋2ax －1在(0，＋∞)上恰有两个极值点，则a 的取值范围为( ) A ．(－e 2，－e)B .⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－e 2 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 D ．(－∞，－e)(1)－7 (2)D[方法总结] 1.利用导数研究函数极值问题的一般流程2．已知函数极值点和极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．A ．2或6B ．2C .23D ．6(2)(2019·广东五校联考)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有极值，则实数a 的取值范围是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C .⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 D .⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 (1)D (2)A利用导数解决函数的最值问题【例4】 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＞0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值． [解] (1)f ′(x )＝1x －a (x ＞0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a ＞0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ， 当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＝1－ax x ＞0； 当x ＞1a 时，f ′(x )＝1－ax x ＜0， 故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.(2)①当0＜1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .②当1a ≥2，即0＜a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1＜1a ＜2，即12＜a ＜1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12＜a ＜ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a ＜1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a . 综上可知，当0＜a ＜ln 2时，函数f (x )的最小值是f (1)＝－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .[方法总结] 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值、最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值.(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b ).(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.(2017·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．[解] (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )<0，所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0.所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.利用导数研究生活中的优化问题【例5】 已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x 千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f (x )万元，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10.8－130x 2，0＜x ≤10，108x －1 0003x 2，x ＞10.(1)写出年利润W (万元)关于年产品x (千件)的函数解析式．(2)年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本) [解] (1)由题意得W ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫10.8－130x 2x －2.7x －10，0＜x ≤10，⎝ ⎛⎭⎪⎫108x －1 0003x 2x －2.7x －10，x ＞10，即W ＝⎩⎪⎨⎪⎧8.1x －130x 3－10，0＜x ≤10，98－⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0003x ＋2.7x ，x ＞10，(2)①当0＜x ≤10时，W ＝8.1x －130x 3－10 则W ′＝8.1－110x 2＝81－x 210＝(9＋x )(9－x )10，因为0＜x ≤10所以当0＜x ＜9时，W ′＞0， 则W 递增；当9＜x ≤10时，W ′＜0，则W 递减． 所以当x ＝9时，W 取最大值1935＝38.6万元． ②当x ＞10时，W ＝98－⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x×2.7x ＝38. 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009＞10时取最大值38. 综上，当年产量为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大．小)值.(4)回归实际问题，结合实际问题作答.面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域．(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[解](1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．由h＞0，且r＞0可得0＜r＜53，故函数V(r)的定义域为(0,53)．(2)因为V(r)＝π5(300r－4r3)，所以V′(r)＝π5(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,53)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,53)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．。