a′(b′)(c′)(d′)，作出这四个点 的水平投影，并表明可见性。
［解］
(b)作图（过a)程已和知作条图件结果 图2.143 作环面上的点的投影
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2.6 曲线、曲面和立体
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(5)一般回转面和组合回转面
(a)立体图
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2.6 曲线、曲面和立体
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2.棱锥及其表面上的线和点
（1）棱锥的投影
(a)立体图
(b)投影图
图2.123 正五棱锥的投影
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（2）棱锥表面上的线和点的投影
(a)已知条件
(a)正三棱柱
(b)左端切割成正垂面的L形柱
图2.126 一些平面立体的投影图示例
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3.一些平面立体的投影图示例（二）
(c)斜三棱柱
(d)正四棱台
图2.126 一些平面立体的投影图示例
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其点H、I位于棱线上。
((ba))作已图知过条程件和作图结果 图2.121 补全正五棱柱表面上的点和线的三面投影
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2.6 曲线、曲面和立体
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［例题2.61］如图2.122a所示，已知斜三棱柱的水平投影和正
面投影，并知这个斜三棱柱表面上的折线PQR的正面投影
①作45°辅助线
②补全点K、L的三面 投影
③补全点F的三面投影
④补全直线GH的三面 投影
((ba))作已图知过条程件和作图结果 图2.125 补全正五棱锥表面上的点和直线的三面投影
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3.一些平面立体的投影图示例(一）
p′q′r′，求作这个斜三棱柱的侧面投影，补全折线PQR的三面
投影。
［解］
①作斜三棱柱的侧面投影。
②作出斜三棱柱表面上的 折线PQR的水平投影pqr 和侧面投影p″q″r″。
((ba))作已图知过条程件和作图结果 图2.122 作斜三棱柱的侧面投影，并补全表面上的折线PQR的三面投影
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(a)已知条件
(b)作图过程和作图结果
图2.136 补全圆柱表面上给定的点和线的三面投影
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(2)圆锥和圆台
(a)立体图
(b)投影图 图2.137 圆锥的投影
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(b)作(a图)已过知程条和件作图结果 图2.131 按给定条件作出铅垂圆的两面投影
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2.6 曲线、曲面和立体
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［例题2.65］如图2.132a所示，水平线 AB和正平线DE交于点C，需在这两条 相交两直线所确定的平面上，以点C 为圆心作直径24mm的圆。
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［例题2.63］如图2.128a所示， 已知三角形PQR平面内的平面 曲线AE的水平投影，求作这 条平面曲线的正面投影。
［解］
①点正4②的3线③顺的、′、在连平b过 ， 用 序 曲、54曲线线与 曲 连 线。1′c、、、线，，线 成将pA′25EqdA分分板 光a、′′的；，1交E别别将滑延3的正由过、得与与曲伸a水面fa4′f引、′、qq、线，，平投′r正rb交b5，与′连′投影交、引、面得p即1影。得c正qc投′1、和交′为、a、1面影ed′f得所、上′d2、投；的′、f求、2取。e影过连′作3、e、′
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2.圆及其投影特性
((23))在在与与圆圆平平面面垂倾直斜的的投投影影面面上上的的投投影影成是直椭线圆，。长度等于圆 (的1直)在径与，圆中平点面是平圆行心的的投投影影面。上的投影反映真形。
图2.129 正平圆的投影
图2.130 铅垂圆的两面投影
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2.回转面和回转体
(1)圆柱
(a)立体图
(b)投影图 图2.135 圆柱的投影
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如图2.136a所示，已知圆柱表面上的点A、B的水平投影a(b)， 以及曲线CD的正面投影c′d′，补全这些点和线的三面投影。 ［解］ ①②因由为于ac(′b)d位′于可圆见周，内所，以所CD以是点前A半和圆B分柱别面是上圆的柱椭的圆顶曲面线和。底面上。
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如图2.141a所示，已知球的水平投影和正面投影，以及球面 上的点A的正面投影，需求作球的侧面投影，以及点A的水平 投影a和侧面投影a″。
［解］
（a()b已)作知法条一件
(c)作法二
(d)作法三
图2.141 作球体表面上的点的投影
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2.6 曲线、曲面和立体
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2.6.3 曲面、曲面立体及其表面上的线和点
1.曲面的形成和分类
❖曲面按其形成有无规律而分成：不规则曲面和规则曲 面。
❖规则曲面可以看作为一条线按一定的规律运动的轨迹， 这条线称为母线，母线的任一位置称为素线，控制母线 运动的点、线、面，分别称为导点、导线、导面。母线 可以是直线，也可以是曲线。
(b)作(a图)已过知程条和件作图结果 图2.133 按给定条件作平行四边形上的圆的两面投影
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3.空间曲线的投影
空间曲线的投影是一条平面曲线。
(a)立体图
(b)投影图
图2.134 空间曲线的投影
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2.6 曲线、曲面和立体
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3.一些平面立体的投影图示例（三）
(e)楔形块
(f)叠加组合体
图2.126 一些平面立体的投影图示例
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2.6.2 平面曲线和空间曲线
曲线可分成两类：所有的点都位于同一平面上的曲线称为平 面曲线；连续四点不在同一平面上的曲线称为空间曲线。
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［例题2.66］如图2.133a所 示，在平行四边形IJKL内 有一个圆，已知圆心C的 正面投影c′，直径为28mm， 求作这个圆的两面投影。
［解］
①作圆心C的水平投影c。 ②作圆的水平投影椭圆。 ③作圆的正面投影椭圆。
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（2）棱柱表面上的线和点的投影
分析：从已知条件可知， 点A在顶面上，点B在底 面上;点C在左后棱面上，
点D在右后棱面上；EF、
FG段分别是左前棱面、 右前棱面上的线段，其 点E、F、G位于棱线上。
GH、HI段分别是右后
棱面、后棱面上的线段，
(b)作法一 (c)作法二
(d)作法三
图2.124 在正三棱锥表面上作点D的正面投影
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［例题2.62］如图2.125a所示，已知正五棱锥表面上的点F、 K、L和直线GH的一个投影，补全这些点和直线的三面投影。
［解］
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圆台的投影
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(a)立体图
(b)投影图 图2.139 圆台的投影
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(3)球
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(a)立体图
(b)投影图 图2.140 球的投影
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(4)环
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(a)立体图
(b)投影图 图2.142 环的投影
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如图2.143a所示，已知环面
上顺次向后的四个点A、B、 C、D的互相重合的正面投影
1.平面曲线及其投影特性
((123)) 当当 当曲曲 曲线线线所所所在在在的的的平平平面面面平垂倾行直 斜于于 于投投 投影影 影面面 面时时 时，， ，投投 投影影 影反积 成映聚 为真成形形为状。一缩直小线的线类段似。形。
(a)平行于投影面
(b) 垂直于投影面
(c) 倾斜于投影面
图2.127 平面曲线及其投影特性
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