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2.1 采样控制
一个典型的采样控制系统如图：
r
＋
e
e u *
*
脉冲
T
控制器
u
保持器
G(S)
C
图2-1 采样控制系统
e*
e是连续的误差信号，经采样开关后，变成一组脉冲序列 ，
e u 脉冲控制器对 *进行某种运算，产生控制信号脉冲序列 * ，保 u 持器将采样信号 * 变成模拟信号 u ，作用于被控对象 G(S) 。
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将上述式子代入式
e* t
e(t)
有(t : kT )
k
e * (t) 1
e(t )e jkst
T k
对上式取拉氏变换，运用复位移定理，我们得到 E*(s):
E* s
1 T
E(s
k
jks )
将S=jw代入上式中，得到e*(t)的傅里叶变换为
E*
j
1 T
E(
k
j
jks )
解：由
E*
s
e(nT )enTs
n0
得
E* s 1 eTS e2TS
1 , eTS 1 1 eTS
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C. Shannon(1916-2001)，毕业 于麻省理工学院数学系，贝尔实验 室研究员及麻省理工学院电机系教 授。早市曾跟随 V. Bush 参与模拟 计算机的研究并提出续电器路逻辑 自动化理(1938)。二战期间在参加 Bode 领导的火炮控制系统研究过 程中发表了著名《通信的数字理 论》，从而奠定了信息的基础 (1948)，被誉为信息论之父。 1956年回到MIT任职电子工程系 教授。
式中a1,a2,···为常数。 2) 实平移定理
Z
x(t
mT
)
Z
m
X
z
m1
K 0
x kT
zK
当k<0时，有xkT 成0立，则有：
z x(t mT ) zm X z
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3）终值定理
设函数 x(t的) Z变换为 X，(z而) 且 (1在zZ1)平X (面z)上以原点为圆
常用函数z变换表：
xt
x t X s X z
t t 1
1
t kT t kT ekTs
zk
1t xkT 1 1 s z z 1
t
kT
1 s2 Tz z 12
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常用函数z变换表：
xt x t X s
e at
e akT
1 s a
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一、定义
F*(s) @L[ f *(t)]
f
(nT )enTS
n0
F(z) @
f (nT )zn
Z[ f *(t)]
n0
其中 f * (是t)连续函数 的f 采(t样) 信号，
z eTs
采样函数 f *(对t)应的Z 变换是唯一的。Z 变换只适用于离
散函数，因为它只表征了连续函数在采样时刻的特性。
Z反变换表示为: Z 1[F(z)] f * (t)
用查表方法可得到函数 f *(的t)Z变换。
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二、 z变换的性质 1）线性定理
za1x1(t) a2 x2 (t) a1X1Z a2 X 2 Z
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三、z变换方法 1、级数求和法
例2-3 x t 1t 的z变换。解：z Nhomakorabeax*
t
x kT
zn
k 0
1 z1
zk
1 1 z1
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例2-4 x t t 的z变换。
解：
z x*
t
kTz k
Tz1
2Tz 2
采样系统的个性——采样过程和采样信号保持
采样系统和连续系统的共性——（1）闭环控制；（2）需分析 稳定性、暂态性能和稳态性能；（3）需进行校正。
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2.2 采样过程和采样定理
一、采样过程 二、采样过程的数学表达式
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e 2
j T
e 2
2j
sin T
T
2
T
j T
e2
2
2
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其幅频特性和相频特性如图2-7所示
Gh ( j)
T
S 2S 3S
2
3
Gh( j)
图2-7 零阶保持器的频率特性
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二、一阶保持器
1）一阶保持器 一阶保持器以两个采样时刻的值为基础实行外推，它的外推
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2）零阶保持器的传递函数
根据零阶保持器的单位脉冲响应，推出其传递函数。
g (t )
零阶保持器的单位脉冲响应是一个矩形，
1
宽度为T，高为1，它可表示成以下二 个单位阶跃信号的迭加。
0
T
g(t) 1(t) 1(t T)
1
单位脉冲响应的拉氏变换就是零阶保持
1 T
E
k
j(
ks )
上式在描述采样过程的复频域特征是极其重要的。一般连 续信号e（t）的频谱是单一的连续频谱，如图2-3所示。
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E j
max 0
max
图2-3(a) 连续信号e（t）的频谱
E *( j)
1
T
s
0 s max
max s
s
2
图2-3(b)离散信号
e
*
t的 频谱2
s 2max
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香农（Shannon）采样定理
为了使信号得到很好的复现，采样频率应大于 等于原始信号最大频率的二倍，即
s 2max
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例2-1
设e(t)=1(t)，试求e*(t)的拉氏变换。
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因为
(t 是kT周) 期函数，因此，可将其展开成傅里
k
叶级数。
(t kT ) Ck e jkst
k
k
式中
s
称2为系统的采样频率。
T
1
Ck
T
T
2
T
T (t )e jkst
2
1
0
(t)dt
1
T 0
T
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E*
(s)
L[e* (t)]
e(nT )e nTS
n0
三、采样定理
经采样得到的离散信号 x（ * t）有可能无失真地恢复到原
来的连续信号的条件是 s 2 max
其中
s
:
采
样
角
频
率
， s
＝
2
T
采样定理给出了选择 采样周期T的依据。
max : 连续信号x(t)频谱的上限频率。
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理想滤波器的滤波特性为 ：
G( j)
1 s /2 0 s /2
其频率特性如图2-4
G( j)
s
s
2
2
图2-4 理想滤波器的频率特性
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2.3 采样信号保持器
一、零阶保持器 二、一阶保持器
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一、零阶保持器
X t
X t
1）零阶保持器
采样开关
X t k
X *t
保持器
Gh s
X
h
t
X h t
图2-5 零阶保持器作用示意
X h t
t
零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器，是一种最常 用的保持器。它把采样时刻的采样值恒定不变地保持（或 外推）到下一采样时刻:
X n (t) X (nT)，nT t (n 1)T，n 0,1,2,
2.1 采样控制 2.2 采样过程和采样定理 2.3 信号恢复 2.4 Z变换理论及线性差分方程求解 2.5 脉冲传递函数 2.6 采样系统的稳定性分析 2.7 采样系统的稳态误差 2.8 采样系统的暂态特性分析 2.9 离散系统的状态空间描述
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自动控制系统按信号形式划分可分为以 下三种类型：
器的传递函数。
0
-1
Gh (s)
L[g(t)]
1 s
1 eTS s
1 eTs s
图2-6 零阶保持信号分解
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3）零阶保持器的频谱分析