是城
市O受到侵袭的开始.
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模型I 如图2建立坐标系：以O为原点，正 东方向为x轴正向.
图
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2
在此时刻t(h)台风中心的坐标为P (x, y)
x
300
2 10
20
2 t, 2
y
300
72 10
20
2 t. 2
此时台风侵袭的区域是
(xx)2 (yy)2 [r(4，即12小时后该城市开始
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模型II 设在时刻t(h)台风中心为
（如图2），此时台风侵袭的圆形半径
为10t+60，因此，若在时刻t城市O受
到台风侵袭，应有
OP10t60
由余弦定理知
O P 2 P P 2 P 2 O 2 P P P c O o O P s .P
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注意到 O P30,P 0 P2t0
海面P处，并以1200km/h的速度45向 西偏北
方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当
前半径为60km，并10km/h的速度不断增大.
问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
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图1
问题分析与假设
1. 根据问题解决目的：问几小 时后该城市开始受到台风的侵袭，以 及台风侵袭的范围为圆形的假设，只
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若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有 (0x)2(0y)2(1t 06)2 0 ,
即( 3 0 2 0 2 0 2 t) 2 ( 3 0 7 2 0 2 0 2 t) 2 ( 1 t 6 0 ) 2 ,0
102
10 2
整理可得 t23t62880,
由此解得 12 t 受到台风的侵袭.
数学上称为“奇偶校验”,即是如果
两个数都是奇数或偶数，则称具有
相同的奇偶性.如果一个数是奇数,
另一个数是偶数,则称具有相反的奇
偶性.在组合几何中会经常遇到类似
的问题.
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在铺瓷砖问题中,同色的两个格子 具有相同的奇偶性,异色的两个格子具有相 反的奇偶性长方形瓷砖显然只能覆盖具有 相反奇偶性的一对方格.因此，把19块长方 形瓷砖在地面上铺好后,只有在剩下的两个 方格具有相反的奇偶性时,才有可能把最后 一块长方形瓷砖铺上.由于剩下的两个方格 具有相同的奇偶性,因此无法铺上最后一块 长方形瓷砖这就从理论上证明了用20块长 方形瓷砖铺好如图所示地面是不可能的.任 何改变铺设方式的努力都是徒劳的
co O s P P cos4 (5 )co sco4s5sinsi4 n5
2 212 24,
10 2
12 0 2 5
故
OP2(20t)23020220t3004
5
202t2960t0302.0
因此 22t0 2 96 t 0 30 2 0(0 1t 06)2 0 .
解得 12t2.4
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例2：铺瓷砖问题
• 要用40块方形瓷砖铺设如图所示图形的 地面, 但当时商店只有长方形瓷砖,每块 大小等于方形的两块.一人买了20块长方 形瓷砖，试着铺地面,结果弄来弄去始终 无法完整铺好.
• 问题在于用20块长方形瓷砖正好铺成图 所示的地面的可能性是否存在?只有可能 性存在才谈得上用什么方法铺的问题.
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为此,在图上白、黑相间的染色. 然后仔细观察,发现共有19个白格和21 个黑格.一块长方形瓷砖可盖住一白一 黑两格,所以铺上19块长方形瓷砖.(无 论用什么方法),总要剩下2个黑格没有 铺.而一块长方形瓷砖是无法盖住2个黑 格的,唯一的办法是把最后一块瓷砖一 断为二。
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•
解决铺瓷砖问题中所用方法在
数学建模——几何图示法
利用几何图示法建模.有不少实际问题 的解决只要从几何上给予解释和说明就足 以了，这时，我们只需建立其图模型即可， 我们称这种建模方法为图示法.这种方法既 简单又直观。
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例1 在某海滨城市附近海面有一台风.据
监测，当前台风中心位于城市O（如图1）
的东偏南(cos 2)
方向300km的
要求出以台风中p 心 （动点）为圆心
的圆 的半径r，这个圆的半径划过的
区域自然是侵袭范围.
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2. 台风中心是动的，移动方向为向
西偏北 ，速度为20km/h，而当前 半径为4560km，并以10km/h的速度不断
增为于大是，只即要半径的增o加p速1度0tr(,6t)0t为6时，01 便间0 t.
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数学中许多的著名的不可能的证明都要用到
奇偶校验,例如欧几里德证明著名的结论：2
是无理数，就是用的奇偶性(读者不妨自己 动手做一下).
• 由上可以看出,奇偶校验方法巧妙而简 单,极富创造力.在估计事情不可能成 立时,可考虑使用奇偶性这一方法来论 证.
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