第三章习题参考解答3.1 构造自动机A，使得①②③当从左至右读入二进制数时，它能识别出读入的奇数；④它识别字母表{a, b}上的符号串，但符号串不能含两个相邻的a，也不含两个相邻的b；⑤它能接受字母表{0, 1}上的符号串，这些符号串由任意的1、0和随后的任意的11、00对组成。
⑥它能识别形式如±dd*⋅ d*E ±dd的实数，其中，d∈{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。
3.2 构造下列正规表达式的DFSA：① xy*∣yx*y∣xyx；② 00∣(01)*∣11；③ 01((10∣01)*(11∣00))*01；④ a(ab*∣ba*)*b。
3.3 消除图3.24所示自动机的空移。
bεq1q2q3aba,bqaq6q4q5abεεε图3.24 含空移的自动机3.4 将图3.25所示NDFSA确定化和最小化。
xyqq1q2q4q3xyxyx,yx图3.25 待确定化的NDFSA3.5 设e、e1、e2是字母表∑上的正规表达式，试证明① e∣e=e；② {{e}}={e}；③ {e}=ε∣e{e}；④ {e1 e2} e1= e1{e2 e1};⑤ {e1∣e2}={{e1}{e2}}={{e1}∣{e2}}。
3.6 构造下面文法G[Z]的自动机，指明该自动机是不是确定的，并写出它相应的语言： G[Z]:Z→A0A→A0∣Z1∣03.7 设NDFSA M=({x, y},{a, b},f, x, {y}), 其中，f(x, a)={x, y}, f(x, b)={y}, f(y, a)=∅, f(y, b)={x, y}。
试对此NDFSA确定化。
3.8 设文法G[〈单词〉]：〈单词〉→〈标识符〉∣〈无符号整数〉〈标识符〉→〈字母〉∣〈标识符〉〈字母〉∣〈标识符〉〈数字〉〈无符号整数〉→〈数字〉∣〈无符号整数〉〈数字〉〈字母〉→a∣b〈数字〉→1∣2试写出相应的有限自动机和状态图。
3.9 图3.29所示的是一个NDFSA A，试构造一个正规文法G，使得L(G)= L(A)。
ABbSaa,bCaDb图3.29 FSA A3.10 构造一个DFSA，它接受∑={a, b}上的符号串，符号串中的每一个b都有a直接跟在右边；然后，再构造该语言的正规文法。
参考答案3.1 解 (1)(2)(3) 依题意，当二进制数的末尾为1时，表示此二进制数为奇数。
因此自动机接收由0、1构成的一个二进制串，且串的最后一位必为1（特殊情况下，接收数字1）。
构造的自动机如下:zS10,1(4) 由题中自动机所识别的符号串的要求，得到相应的正规文法：S→aB|bA|a|b|εA→aB|aB→bA|b由此正规文法得到相应的状态转换图如右图所示。
利用子集法构造确定的有穷自动机如下表所示(已换名)。
将NFSA确定化为DFSA的过程I I a I b[S，Z] 0[B，Z] 1[A，Z] 2[B，Z] 1[A，Z] 2[A，Z] 2[B，Z] 11、2都是终止状态，但由于它们的输入符号不相同，所以这三个状态不等价。
因此，该DFSA已是最小化的DFSA。
(5) 由题中自动机所识别的符号串的要求：“0与1任意出现，随后的11和00也任意出现”，得到相应的正规表达式为(1|0)*(11|00)*由此正规表达式得到相应的状态转换图(NFSA)如图所示。
11Z1CD00EεεBεAεS利用子集法构造确定的有穷自动机如下表所示(已换名)。
I I0I1[S,A,B,C,Z] S[A,B,C,E,Z] A[A,B,C,D,Z] B[A,B,C,E,Z] A[A,B,C,E,Z] A[A,B,C,D,Z] B[A,B,C,D,Z] B[A,B,C,E,Z] A[A,B,C,D,Z] BDFSA相应的状态图如下左图所示。
对左图所示的DFSA进行最小化：因为该DFSA中所有的状态均是终止状态，且输入0均到达A，输入1均到达B，所以状态S、A、B等价。
最小化DFSA如右图所示。
a, b, εaBbbASaabZaab12化简后的DFSA1SABS1DFSA的状态转换图最小化后的DFSA(6) 依题意，下面的自动机可以接收形如±dd*⋅ d*E ±dd 的串，其中，d∈{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}S12d.z3E654d d±±d d3.2 解：①根据题中所给的正规表达式得到相应的状态转换系统左下图所示。
依据该状态转换系统构造确定DFSA如表中(已换名)所示。
DFSA相应的状态图如右下图所示。
ZySAεBFCyD EyGxεyxxxεε0xxy124536yyxyy yx正规表达式的DFSA DFSA的状态转换图将NFSA确定化为DFSA的过程I I x I y[S] 0[A，B，F，Z] 1[C，D，E] 2[A，B，F，Z] 1[B，G，Z] 3[C，D，E] 2[D，E] 4[Z] 5[B，G，Z] 3[Z] 5[B，Z] 6[D，E] 4[D，E] 4[Z] 5[Z] 5[B，Z] 6[B，Z] 6对DFSA进行最小化，过程如下：已知K={0，1，2，3，4，5，6}。
首先将K分成两个子集K1={0，2，4} (非终态集)K2={1，3，5，6} (终态集)在K1={0，2，4}中，因为{0}x={1}⊂K2{2，4}x={4}⊂K1所以状态0与状态2、4不等价，故K1可分割为K11={0} K12={2，4}在K12={2，4}中，因为有{2，4}x ={4} {2，4}y={5}⊂K2所以，状态2和状态4等价。
在K2={1，3，5，6}中，状态5无输入，状态3有x、y输入，状态1与状态6均只有y输入，所以可将K2分割为K21={1，6} K22={3} K23={5}由于状态1输入y到达状态3，状态6输入y到达状态6，所以状态1与6也不等价。
进一步将K21分割为K211={1} K212={6}于是，将原状态集合划分为{0}、{2，4}、{1}、{3}、{5}、{6}最小化后的状态图如右图所示。
②对应于该正规表达式的状态转换图如左下图所示，由造表法确定化、化简后，得到如右图所示的自动机(由于构造自动机的步骤和上一小题完全一样，所以这里只给出最后的结果，中间过程省略)：11s2134εε01z421113111s③对应于该正规表达式的自动机如下图所示：0xxy1236xy y5yy正规表达式xy*|yx*y|xyx的最小化DFSA1111S1259ε1z3014678ε确定化、化简后得到的自动机如下图所示：5211Z11S13141④根据题中所给的正规表达式得到相应状态转换系统如下左图所示。
依据该状态转换系统构造确定DFSA的状态图如下右图所示：ZCGbεBεAaSεFεEεεDba ba1ab4abaS aaabb523最后化简，得到DFSA如下图所示：bb1 3aS a3.3 解：去掉ε弧，和空移环路后的自动机如下图所示：S1a bza a ,b2b a3b其中状态3是不可达状态，在确定化和化简的过程中应被删除掉（确定化和化简过程略）。
3.4 解：依据该I I x I y[q0] 0[q1] 1[q2] 2[q1] 1[q2，q3 ] 3[q2] 2[q1，q3] 4[q2，q3] 3[q3，q4 ] 5[q1，q3] 4[q1，q3] 4[q2，q3，q4] 6[q3] 7[q3，q4] 5[q3，q4 ] 5[q3] 7[q2，q3 ，q4] 6[q3，q4 ] 5[q1，q3] 4[q3] 7[q3，q4 ] 5[q3] 7DFSA相应的状态图如下图所示。
xy265xxx x13y4y7xy yyxy对DFSA进行最小化，过程如下：已知K={0，1，2，3，4，5，6，7}。
首先将K分成两个子集K1={0，1，2，3，4，7} (非终态集)K2={5，6} (终态集)在K1={0，1，2，3，4，7}中，因为状态1只有x输入，状态2只有y输入，其它状态均有x、y输入，所以将K1分割为K11={0，3，4，7} K12={1}，K13={2}由于在K11中，{0}x=1∈K12{3,4,7}x={5,6}⊂K2因此将K11分割为K111={0} K111={3，4，7}由于{3,4,7}x={5,6}⊂K2{3,4,7}y={4,7}⊂K111因此状态3、4、7是否等价取决于对K2的划分结果。
在状态K2={5，6}中，{5,6}x=5∈K2 {5,6}y={4,7}⊂K111所以状态5、6等价，从而状态3、4、7等价。
于是，将原状态集合划分为{0}、{3，4，7}、{1}、{2}、{5，6}最小化后的状态图如下图所示。
ySxy5123yxyx3.5 证明略。
3.6 解：该文法是左线性文法，因而需要增加一个开始状态来构造其对应的状态图。
得到如下图所示的状态转换图。
所以，该文法的自动机为1A ZSM=({S，A，Z}，{0，1}，P，{S}，{Z})其中，P为δ(S，0)={A}δ(A，0)={A，Z}δ(Z，1)={A}由于在状态A输入0既可以到达状态A，又可以到达状态Z，因此该自动机是不确定的。
其相应的语言为L(G[Z])={a|a是由0和1组成的以0开头、以0结尾的符号串，并且该符号串不含有两个连续的1}其正规表达式为0(0|01)*03.7 解：该NFSA对应的状态转换图如下图所示。
byxaa,bb依据该NDFSA的状态图构造DFSA如下右表所示(已换名)。
所以确定的有穷自动机为M=({0，1，2}，{a，b}，f，0，{1，2})其中，f为f(0，a)=1 f(0，b)=2f(1，a)=1 f(1，b)=1f(2，b)=13.8 解：因为该文法存在直接左递归，所以用扩展的BNF表示法消除左递归。
〈单词〉→〈标识符〉∣〈无符号整数〉〈标识符〉→〈字母〉{〈字母〉∣〈数字〉}〈无符号整数〉→〈数字〉{〈数字〉}〈字母〉→a∣b〈数字〉→1∣2此文法描述的语言为标识符和无符号整数。
用符号T,I,N,L和D分别表示〈单词〉、〈标识符〉、〈无符号整数〉、〈字母〉和〈数字〉，按照文法定义的标识符和无符号整数的构成规则，得到以下的正规文法T→aI|bI|1N|2N|a|b|1|2I→aI|bI|1I|2I|a|b|1|2N→1N|2N|1|2然后根据本章中介绍的方法得到相应自动机的状态转换图。
（略）3.9 解：根据该NFSA的状态转换图可知：该自动机接受的句子为(a|b)*(aa|bb)(a|b)*为此，构造正规文法如下。
G[S]：S→aS|bS|aA|bBA→aC|aB→bC|bC→aC|bC|a|b经检验，文法G[S]所识别的句子正是该自动机接受的句子，即L(G)=L(A)。