三角形重心的性质的向量表示与推广及其应用
吴家华（四川省遂宁中学校 629000）
摘 要 本文给出了三角形重心性质的一个向量表示并进行了推广，同时介绍了它们的简单应用.
关键词 三角形、重心、向量、推广
我们知道，三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与到对边中点的距离的比为1:2，即重心到顶点的距离等于该中线长的三分之二. 重心的这一性质如果我们用向量来表示的话，则有下列结论：
定理1 设G 为ABC ∆的重心，则)(3
1
AC AB AG +=；反之也成立. 证明：设BC 的中点为D ，则)(2
1
AC AB AD +=. ∵G 为ABC ∆的重心，∴AD AG 3
2
=
. ∴)(31
)(213232AC AB AC AB AD AG +=+⋅==.
故)(3
1
AC AB AG +=.
反之，若)(3
1
AC AB AG +=，则AC AB AG +=3，即
0)()(=-+-+AC AG AB AG AG ，0=++CG BG AG ，
∴0=++GC GB GA ,故G 为ABC ∆的重心.
定理1 得证.
笔者在解题研究中，尝试把重心G 改为ABC ∆所在平面内的任意一点，发现定理1可以推广为下列一般形式：
定理 2 设分别过ABC ∆的两个顶点C B ,的直线相交于一点P ，且分别交对边所在直线于点M N ,. 若AB AM λ=，AC AN μ=，则
AC AB AP λμ
λμλμμλ--+--=
1)
1(1)1(.
证明：如图1所示，设MC t MP =，NB s NP =，则
M
p N
B
C
A
AC
t AM t AM AC t AM MC t AM MP AM AP +-=-+=+=+=)1()(AC t AB t +-=)1(λ.
AB
s AN s AN AB s AN NB s AN NP AN AP +-=-+=+=+=)1()(AB s AC s +-=)1(μ.
∵AB 与AC 不共线，
∴⎩⎨⎧=-=-t s s t )1()1(μλ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧--=--=⇒λμμλλμλμ1)1(1)1(s t . 故AC AB AP λμ
λμλμμλ--+--=
1)1(1)1(.
定理2得证.
显然，定理2的结论是建立在ABC ∆的基础上的，那么，我们在应用定理2解决问题 时就需要一个三角形作依托，也就是说，我们解决问题的关键在于这个三角形的选择. 因此，我们不妨把定理中的这个ABC ∆叫做基底三角形（注意，顶点C B A ,,按逆时针顺序），简称为“基三角”.
笔者在教学和解题实践中发现，上述三角形重心性质的向量表示及其推广在解决平面 向量和平面几何问题中具有较广泛的应用.下面举例说明之.
例1.如图2所示，在ABC ∆中，E D ,分别为AC AB ,的中点，CD 与BE 交于点F ， 设a AB =，b AC =，b n a m AF +=，若向量),(n m s =，则=||s （ ）
.
A 32 .
B 32 .
C 65 .
D 3
4
图2
解：由已知可知，F 为ABC ∆的重心， 则由定理1可得：b a b a AF 3
131)(31+=+=
.
∵b n a m AF +=，且a ，b 不共线， ∴31=
=n m ，则)3
1,31(=s . ∴3
2)31()31(||22=+=
s ,故选B . 例2.P 是ABC ∆内一点，)(3
1
AC AB AP +=，则ABC ∆的面积与ABP ∆的面积的比 值为（ ）
.A 2 .B 3 .
C 2
3
.D 6 解：∵)(3
1
AC AB AP +=，∴由定理1知，P 是ABC ∆的重心. ∴
3
1
=∆∆ABC ABP S S ,即ABC ∆的面积与ABP ∆的面积的比值为3. 故选B .
例3.如图3所示，在OAB ∆中，a OA =，b OB =，N M ,分别是边OB OA ,上的点， 且a OM 31=
，b ON 2
1
=.设AN 与BM 交于点P ，用向量a ，b 表示OP .
图3
解：取OAB ∆为基底三角形，因为N M ,分别是边OB OA ,上的点，且a OM 3
1
=
，b ON 2
1=.
∴31=λ，2
1
=μ,则由定理2，得：
b a b a OP 5
2
511)1(1)1(+=--+--=
λμλμλμμλ，
即
b a OP 5
251+=. 例4.如图4所示，在OAB ∆中，a OA =，b OB =，设点M 分AB 所成的比为1:2，点N 分OA 所成的比为1:3，而OM 和BN 交于点P ，试用a 和b 表示OP .
解：取ABO ∆为基底三角形，连接AP ，因为点M 分AB 所成的比为1:2，点N 分OA
所成的比为1:3，
∴AB AM 32=
，AO AN 41=，则32=λ，4
1=μ. 由定理2得：AO AB AO AB AP 10
1
531)1(1)1(+=--+--=
λμλμλμμλ.
图4
∴OA OA OB OA AO AB OA AP OA OP 10
1
)(5310153--+=++
=+= b a OB OA 53
10353103+=+=，
即b a OP 5
3
103+=.
例5.如图5所示，在ABC ∆中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且NC AN 2=，
AM 与BN 相交于点P ，求PM AP :的值.
图5
解：取CAB ∆为基底三角形，连接PC ，则由已知得：CA CN 31=，CB CM 2
1
=， ∴31=
λ，2
1
=μ. 由定理2得：CB CA CB CA CP 52
511)1(1)1(+=--+--=
λμλμλμμλ,
∴)(5251AC AB AC AC AP -+-
=-,即AB AC AP 5
2
52+=.
∵点M 是BC 的中点，∴)(2
1
AC AB AM +=. ∴AM AP 5
4
=
，即1:4:=PM AP .∴1:4:=PM AP . 例6.（2014年武汉高三调研）如图6所示，在ABC ∆中，AC AN 3
1
=，P 是BN 上的一点，若AC AB m AP 11
2
+
=，则实数m 的值为（ ）
.
A 119 .
B 115 .
C 113 .
D 11
2
解：取CAB ∆为基底三角形，延长AP 交BC 于点M ，连接PC . ∵AC AN 31=
，∴CA CN 32=，即3
2=λ. 设CB CM μ=，则由定理2，得：
CB CA CB CA CP μ
μ
μμλμλμλμμλ2323)1(21)1(1)1(-+--=--+--=
.
则CB CA CA CP AP μ
μ
μ23231-+--
=-=.
又∵CB m CA m CA CA CB m AC AB m AP ++-=--=+
=)11
2
(112)(112，且CA ， CB 不共线，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-m m μ
μμ23112231⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒1157
5m μ.
故应选.B
P
M
N
C
B
A。