2.2.1 导数与函数的单调性基础巩固题：1.函数 f(x)= ax1在区间（ -2， +∞）上为增函数，那么实数 a 的取值范围为（）x2A.0<a<1 B.a<-1 或 a>1C.a>1D.a>-2222答案： C解析：∵ f(x)=a+12a在 (-2,+ ∞ )递增，∴ 1-2a<0, 即 a>1.x222．已知函数 f(x)＝ x 2＋ 2x ＋ aln x ，若函数 f(x)在 (0,1)上单调，则实数a 的取值范围是 ()A ． a ≥ 0B ． a<－ 4C ． a ≥ 0 或 a ≤－ 4D ． a>0 或 a<－ 4a答案： C 解析： ∵ f ′ ( x)＝2x ＋ 2＋ x ， f(x)在 (0,1) 上单调，∴ f ′ (x)≥ 0 或 f ′ (x)≤ 0 在(0,1) 上恒成立，即 2x 2＋2x ＋ a ≥ 0 或 2x 2＋ 2x ＋a ≤ 0 在 (0,1)上恒成立，所以 a ≥ － (2x 2＋ 2x)或 a ≤ － (2x 2＋ 2x)在 (0,1) 上恒成立．记 g(x)＝－ (2x 2＋ 2x),0< x<1，可知－ 4<g(x)<0 ， ∴ a ≥ 0或 a ≤ － 4，故选 C.9的单调区间为 ________．3． 函数 f(x)＝ x ＋ x答案：(－ 3,0)，(0,3)x 2－ 9 解析：f ′ (x)＝ 1－ 92＝x 2 ，令 f ′ (x)<0，解得－ 3< x<0 或 0<x<3，x故单调减区间为 (－ 3,0)和 (0,3)．4 函数 yx 2 x 3 的单调增区间为，单调减区间为 ___________________答案： (0, 2) ； ( ,0),( 2, ) 解析： y '3x 2 2x 0, x 0, 或x2 3335．确定下列函数的单调区间 :(1) y=x 3－ 9x 2+24x (2) y=3x － x 3(1) 解： y ′ =(x 3－ 9x 2+24x) ′ =3x 2－ 18x+24=3( x － 2)( x － 4)令 3(x － 2)(x － 4)＞ 0，解得 x ＞ 4 或 x ＜ 2.∴ y=x 3－ 9x 2+24x 的单调增区间是 (4， +∞)和 (－ ∞， 2) 令 3(x － 2)(x － 4)＜ 0，解得 2＜ x ＜ 4 .∴ y=x 3－ 9x 2+24x 的单调减区间是 (2， 4)(2) 解： y ′ =(3x － x 3) ′=3－ 3x 2=－ 3(x 2－ 1)= － 3(x+1)( x－ 1) 令－ 3(x+1)( x － 1)＞ 0，解得－ 1＜ x ＜ 1.∴ y=3x － x 3 的单调增区间是 (－ 1， 1).令－ 3(x+1)( x － 1)＜ 0，解得 x ＞ 1 或 x ＜－ 1.∴ y=3x － x 3 的单调减区间是 (－ ∞，－ 1)和 (1， +∞)6．函数 y ＝ ln( x 2－ x － 2)的单调递减区间为 __________．[答案 ] (－∞，－ 1)[解析 ]函数 y ＝ ln( x 2－ x － 2)的定义域为 (2，＋ ∞ )∪ (－ ∞，－1)，令 f(x)＝ x 2－ x － 2， f ′ (x)＝ 2x － 1<0，得 x<12，∴ 函数 y ＝ ln( x 2－x － 2)的单调减区间为 ( －∞ ，－ 1)7．已知 y ＝ 1x 3 ＋ bx 2＋ (b ＋ 2)x ＋ 3 在 R 上不是单调增函数，则b 的范围为 ________．3[答案 ] b<－ 1 或 b>2[ 解析 ] 若 y ′ ＝ x 2＋ 2bx ＋ b ＋ 2≥ 0 恒成立，则＝ 4b 2－ 4(b＋2)≤ 0， ∴ － 1≤ b ≤ 2，由题意 b ＜－ 1 或 b ＞ 2.8.已知 x ∈ R, 求证： e x ≥ x+1．证明 :设 f （ x ） =e x － x － 1,则 f ′（ x ） =e x － 1．∴当 x=0 时， f ′（ x ） =0,f （ x ）=0 ．当 x ＞ 0 时， f ′（ x ）＞ 0,∴ f （ x ）在（ 0,+∞）上是增函数．∴ f （ x ）＞ f （ 0） =0．当 x ＜ 0 时， f ′（ x ）＜ 0,f （ x ）在（－∞ ,0）上是减函数，∴ f （ x ）＞ f （ 0） =0．19．已知函数 y=x+ ，试讨论出此函数的单调区间 .xx 2解： y ′ =(x+1 －1 ( x 1)( x 1)(x 1)( x 1)＞ 0. 解)′ =1－ 1· x2=x 2x 2令x 2x得 x ＞ 1 或 x ＜－ 1.∴ y=x+1的单调增区间 ; 是 (－∞，－ 1)和 (1， +∞ ).令(x1)( x1)＜ 0，xx 2解得－ 1＜ x ＜0 或 0＜ x ＜1. ∴ y=x+1的单调减区间是 (－ 1， 0)和 (0， 1)10．已知函数 f ( x) x 3 bx 2xcxd 的图象过点 P （ 0， 2），且在点 M （－ 1，f （－ 1））处的切线方程为 6 x y 70 ．（Ⅰ）求函数 y=f(x) 的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x) 的单调区间．解：（Ⅰ）由 f(x) 的图象经过 P （ 0， 2），知 d=2，所以 f (x) x 3bx 2cx 2,f ( x) 3x 22bx c.由在M(-1,f(-1))处 的 切线方程是6 x y70 ，知6f (1) 7 0, 即 f ( 1) 1, f ( 1)6.3 2b c 6, 即 2b c c 3,1 b c2 1. b 0, 解得 b c 3.故所求的解析式是( )33232.fxxxx（Ⅱ） f(x) 3x 2 6 x3. 令 3x 2 6x 3 0,22x1 0.解得 x 112, x 212.即 x当 x 12, 或x 12时, f ( x) 0;当 12 x 12时, f ( x) 0.故 f ( x)在 ( ,1 2 ) 内是增函数，在 (1 2,1 2)内是减函数，在 (1 2, ) 内是增函数． 点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问 题的能力． 11. 已知函数 f(x)=x 3-1x 2+bx+c. (1) 若 f(x)在（ - ∞， +∞）上是增函数，求b 的取值范2围; (x ) =3x 2-x+b, 因 f(x)f ( x) ≥0. 即 3x 2- x+b ≥0,解 （ 1） f 在（ - ∞， +∞）上是增函数，则∴b ≥x -3x 2 在（ - ∞， +∞）恒成立 . 设 g(x)=x-3x2 当 x= 1 时， g(x)= 1 , ∴b ≥ 1 ..6 max121212. 已知函数 f(x)=x(x-1)(x-a)在（ 2，+∞）上是增函数，试确定实数 a 的取值范围 .解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x3-(a+1)x 2+ax ∴ f (x) =3x 2-2(a+1)x+a要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（ 2,+ ∞) 上是增函数，只需 f ( x) 2在（ 2，+∞）上满足=3x -2(a+1)x+a f ( x) ≥0即可 .∵ f (x ) =3x2-2(a+1)x+a 的对称轴是 x=a 1,3a 1a 1 22 或3解得 :a ≤ 8. ∴a 的取值范围是 a ≤ 8.∴a 的取值应满足：3 1f(2) 0f a0 33( )313．已知函数f ( x) 4 x ax22x 3 ( x R) 在区间1,1 上是增函数，求实数 a 的取值3范围．解： f ' ( x) 4 2ax 2x 2 ，因为 f x 在区间1,1 上是增函数，所以f ' ( x) 0 对x1,1 恒成立，即 x 2ax 2 0 对 x1,1 恒成立，解之得：1 a1所以实数 a 的取值范围为1,1 ．点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则f ' ( x)0 ；若函数单调递减，则 f ' ( x) 0 ”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．14.已知函数的切线方程f ( x) x 3 bx 2 ax d 的图象过点 P （ 0，2），且在点 M （－ 1， f ( 1) ）处 6x y 7 0 ，（ 1）求函数 y f (x) 的解析式；（ 2）求函数 y f ( x) 的单调区间。

解：（ 1）由 f ( x) 的图象经过 P （ 0， 2），知 d2 ，所以 f ( x) x 3bx 2cx 2 ，f ( x)3x 22bx c由在点 M （1, f ( 1) ）处的切线方程为 6xy 7 0∴ f ( 1)1, f ( 1) 63 2b c 6 3即 ∴1 b c 解得 b c2 1故所求的解析式是 f ( x) x 3 3x 2 3x 2（ 2） f ( x) 3x 2 6x 3 令 3x 2 6x 30 ，解得 x 112, x 212当 x 1 2 或 x12 时， f ( x) 0当 12 x 12 时， f (x) 0故 f ( x)x 3 3x 2 2 在 (,1 2 ) 内是增函数，在 (12 ,12) 内是减函数在 (12,) 内是增函数点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．2x － b15．已知函数 f(x)＝2，求导函数 f ′ (x)，并确定 f(x)的单调区间．2(x － 1)2－ (2x － b) ·2(x － 1)解析： f ′ (x)＝ ＝(x － 1)4－ 2x ＋ 2b － 22[x － (b － 1)](x － 1)3 ＝－3(x － 1) 令 f ′ (x)＝ 0，得 x ＝ b － 1 且 x ≠ 1.当 b －1＜ 1，即 b ＜ 2 时， f ′ (x)的变化情况如下表：x (－ ∞ ，b － 1) b － 1 (b － 1,1) (1，＋ ∞ )f ′ (x)－0＋－当 b－1＞ 1，即b＞ 2 时， f′ (x)的变化情况如下表：x(－∞，1)(1， b－ 1)b－ 1(b－ 1，＋∞ )f ′ (x)－＋0－所以，当 b＜2 时，函数f(x)在 (－∞， b－ 1)上单调递减，在 (b－ 1,1)上单调递增，在(1，＋∞ )上单调递减．当 b＞2 时，函数 f (x)在 (－∞，1) 上单调递减，在 (1，b－ 1)上单调递增，在 (b－ 1，＋∞ )上单调递减．当 b－1＝1，即2b＝2时， f ( x)＝ x－1，所以函数 f ( x)在(－∞，1) 上单调递减，在(1，＋∞ ) 上单调递减．强化提高题：16．设 f(x)、g(x)是 R 上的可导函数， f′ (x)，g′ (x)分别为 f(x)、g(x)的导函数，且满足 f′ ( x) g( x)＋ f(x)g′ (x)<0，则当a<x<b 时，有 ()A ． f(x)g(b)>f(b)g(x) C． f(x)g(x)>f(b)g(b)答案： C 解析：令B ． f(x)g(a)>f(a)g(x)D． f(x)g(x)>f(b)g(a)y＝ f(x) ·g(x)，则y′＝ f ′ (x)·g(x)＋f(x)·g′ (x) ，由于f′ ( x) g( x)＋f(x)g′ (x)<0，所以y 在R 上单调递减，又x<b，故f(x)g(x)> f(b)g(b)．17．若函数y＝x3－ ax2＋ 4 在 (0,2)内单调递减，则实数 a 的取值范围是 ____________ ．[答案 ] [3，＋∞ )[ 解析 ] y′＝ 3x2－ 2ax，由题意知3x2－ 2ax<0 在区间 (0,2) 内恒成立，3即a>2x 在区间 (0,2)上恒成立，∴ a≥ 3.18．已知函数f(x)＝ ax－ ln x，若 f (x)＞ 1 在区间 (1，＋∞ )内恒成立，实数 a 的取值范围为________．[答案 ] a≥ 1[解析 ]由已知 a＞1＋ ln x在区间 (1，＋∞ )内恒成立．x1＋ ln x ln x1＋ ln x设 g(x)＝x，则 g′ (x)＝－x2＜ 0(x＞1)，∴ g(x)＝x在区间 (1，＋∞ )内单调递减，∴ g(x)＜ g(1)，∵g(1) ＝ 1，∴1＋ ln xx＜ 1 在区间 (1，＋∞ )内恒成立，∴ a≥ 1.－x的单调递增区间是 ________．19．函数 y＝ x2 e答案： (0,2)解析： y′＝ (2x－ x2)e－x＞ 0? 0＜ x＜ 2，故选填 (0,2)．20若 f ( x) ax3bx 2cx d(a 0) 在R增函数，则 a, b, c 的关系式为是_______________答案： a0,且 b23ac解析： f ' ( x) 3ax22bx c 0恒成立，则a 0, a0,且 b 2 3ac4b 2 12ac21．若函数 y=－ 4x 3+bx 有三个单调区间，则 b 的取值范围是 ________．答案： b>0 3y ′ =－ 4x 2+b ，若 y ′值有正、有负，则 b>0．解析：22.定义在 R 上的奇函数 f(x) 在［ -a,-b ］(a>b>0) 上是减函数且 f(-b)>0, 判断 F （ x ）=［ f(x) ］ 2 在［ b,a ］上的单调性并证明你的结论 .解析：设 b ≤ x 1<x 2≤ a,则 -b ≥ -x 1>-x 2≥ -a.∵ f(x) 在 ［ -a,-b ］ 上 是 减 函 数 , ∴ 0<f(-b) ≤ f(-x 1)<f(-x 2) ≤ f(-a), ∵ f(x) 是 奇 函 数 , ∴ 0<-f(x 1)<-f(x 2)，则 f(x 2 )<f(x 1)<0, ［ f(x 1)］ 2<［ f(x 2 )］ 2,即 F(x 1)<F(x 2).∴ F(x) 在［ b,a ］上为增函数 .23．设函数 f( x)＝ x 3－ 3ax 2＋ 3bx 的图象与直线 12x ＋ y － 1＝ 0 相切于点 (1，－ 11)．(1) 求 a 、 b 的值； (2) 讨论函数 f(x)的单调性．[解析 ](1) 求导得 f ′ (x)＝ 3x 2－ 6ax ＋ 3b.由于 f(x)的图象与直线12x ＋ y －1＝ 0 相切于点 (1，－ 11)，所以 f(1) ＝－ 11， f ′ (1)＝－12，1－ 3a ＋ 3b ＝－ 11 ，解得 a ＝ 1，b ＝－ 3.即3－ 6a ＋ 3b ＝－ 12(2)由 a ＝ 1， b ＝－ 3 得 f ′ (x)＝ 3x 2－ 6ax ＋3b ＝ 3(x 2－ 2x －3) ＝3(x ＋ 1)(x － 3)．令 f ′ (x)>0，解得 x<－ 1 或 x>3；又令 f ′ (x)<0，解得－ 1<x<3.所以当 x ∈ (－ ∞ ，－ 1)时， f(x)是增函数；当 x ∈ (3，＋ ∞ )时， f(x)也是增函数； 当 x ∈ ( － 1,3) 时， f ( x ) 是减函数．24．若函数 f (x)1x 31ax 2(a 1)x 1在区间 (1,4) 内为减函数，在区间 (6,)32上为增函数，试求实数 a 的取值范围．解： f ( x) x 2ax a1 (x 1)[x( a 1)] ，令 f ( x) 0 得 x 1 或 x a 1 ，∴当 x (1,4) 时， f ( x) 0 ，当 x (6, ) 时， f ( x) 0 ，∴ 4 a1 6 ，∴ 5 a 7 ．25.设函数 f(x)=x+a (a>0).(1) 求函数在 （ 0，+∞） 上的单调区间， 并证明之；（ 2）若函数 f(x)x在［ a-2,+∞］上递增，求a 的取值范围 .解析：（ 1） f(x) 在 (0,+ ∞ )上的增区间为［ a ,+∞］，减区间为（ 0， a ） .证明：∵ f ′ (x)=1-a ,当 x ∈［a ,+∞］时，x 2∴ f ′ (x)>0, 当x ∈（ 0，a ）时，f ′ (x)<0.即 f(x) 在［a +∞］上单调递增，在（0，a ）上单调递减 .（或者用定义证）（ 2 ）［ a-2,+ ∞ ］ 为 ［ a ， + ∞ ］ 的 子 区 间 ， 所 以 a-2 ≥aa-a -2 ≥( a +1)(a -2) ≥ 0 a -2≥ 0a ≥ 4.b x调区间．解析：可先由函数y ＝ ax与y ＝－ bx 的单调性确定a 、b 的取值范围，再根据a 、b 的取值范围去确定y ＝ ax 3＋ bx 2＋ 5 的单调区间．[解 ]∵ 函数y ＝ax与by ＝－ x 在 (0，＋∞ )上都是减函数， ∴ a ＜0， b ＜ 0.由 y ＝ ax 3＋bx 2＋ 5 得 y ′＝ 3ax 2＋ 2bx.2b令 y ′ ＞0，得 3ax 2＋2bx ＞ 0，∴ － 3a ＜x ＜ 0.2b∴ 当 x ∈ － 3a ， 0 时，函数为增函数．令 y ′ ＜0，即 3ax 2＋2bx ＜ 0，2b∴ x ＜－ 3a ，或 x ＞0.2b∴ 在－ ∞ ，－ 3a ， (0，＋ ∞ )上时，函数为减函数．27设 a 0, f ( x)a 是 R12f (x)0 +）e x上的偶函数，（ ）求 a 的值；（ ）证明在（ ，ae x上是增函数。