7.3.4正切函数的性质与图像课标要求素养要求1.了解正切函数图像的画法，理解正切函数的性质.2.能利用正切函数的图像及性质解决问题. 通过对正切函数的图像与性质的学习，体会数学抽象和直观想象素养.教材知识探究孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”，事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题．那么这与正切函数的性质与图像有什么联系呢？问题类比y＝sin x，y＝cos x的图像与性质．（1）y＝tan x是周期函数吗？有最大（小）值吗？（2）正切函数的图像是连续的吗？提示（1）y＝tan x是周期函数，且T＝π，无最大，最小值．（2）正切函数的图像在定义域上不是连续的．函数y＝tan x的图像和性质性质是根据图像得到的结论解析式 y ＝tan x图像定义域 {x |x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z }值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数单调性 在区间（k π－π2，k π＋π2）（k ∈Z ）都是增函数对称中心 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0（k ∈Z ） 零点x ＝k π（k ∈Z ） 教材拓展补遗[微判断]1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．（×）提示 y ＝tan x 在区间（k π－π2，k π＋π2）（k ∈Z ）上是增函数，但在其定义域上不是增函数．2．函数y ＝tan 2x 的周期为π.（×） 提示 y ＝tan 2x 的周期为π2.3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．（√）4．函数y ＝2tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2的值域是[0，＋∞）.（√）[微训练]与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像不相交的一条直线是 （ ）A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π8解析 ∵2x ＋π4≠π2＋k π（k ∈Z ），∴x ≠π8＋k π2（k ∈Z ），故选D.答案 D [微思考]正切曲线是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？是轴对称图形吗？ 提示 y ＝tan x 是中心对称图形，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0（k ∈Z ），不是轴对称图形．题型一 正切函数的定义域、值域问题例1 （1）函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的定义域为 ；正切函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，这是解决正切函数相关问题首先要关注的地方（2）函数y ＝tan 2x －2tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π3的值域为 ．解析 （1）由π6－x 4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠－4π3－4k π，k ∈Z ，即函数的定义域为{x |x ≠－4π3－4k π，k ∈Z }．（2）令u ＝tan x ，∵|x |≤π3，∴由正切函数的图像知u ∈[－3，3]， ∴原函数可化为y ＝u 2－2u ，u ∈[－3，3]，∵二次函数y ＝u 2－2u ＝（u －1）2－1图像开口向上，对称轴方程为u ＝1， ∴当u ＝1时，y min ＝－1， 当u ＝－3时，y max ＝3＋23， ∴原函数的值域为[－1，3＋23]．答案 （1）{x |x ≠－4π3－4k π，k ∈Z } （2）[－1，3＋23]规律方法 （1）求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图像或三角函数线．（2）处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R ，将问题转化为某种函数的值域求解．【训练1】 函数y ＝tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3＋1的定义域为 ，值域为 ．解析 由3x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋π18，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π3＋π18，k ∈Z . 设t ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3， 则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34≥34，所以原函数的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π3＋π18，k ∈Z ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 题型二 正切函数的单调性 探究1 求正切函数的单调区间解题时注意“ω”的符号对单调区间的影响【例2－1】 求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x ＋π4的单调区间．解 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －π4，由－π2＋k π<14x －π4<π2＋k π（k ∈Z ）得－π＋4k π<x <3π＋4k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan （－14x ＋π4）的单调递减区间是（－π＋4k π，3π＋4k π）（k ∈Z ）. 规律方法 y ＝tan （ωx ＋φ）（ω>0）的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． 探究2 比较大小 把角转化到同一单调区间内【例2－2】 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小． （1）tan 13π4与tan 17π5；（2）tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.解 （1）因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5，又0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以tan π4<tan 2π5，即tan 13π4<tan 17π5.（2）因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5，又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以tan π4>tan π5，所以－tan π4<－tan π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5. 规律方法 运用正切函数单调性比较大小的方法（1）运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． （2）运用单调性比较大小关系．训练2 （1）函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调减区间为 ．（2）比较大小：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5.（1）解析 y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6，∴k π－π2<x 4－π6<k π＋π2（k ∈Z ），∴4k π－4π3<x <4k π＋8π3（k ∈Z ），∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的递减区间为⎝⎛4k π－4π3，⎭⎪⎫4k π＋8π3（k ∈Z ）.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3（k ∈Z ）（2）解 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4＝tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π5＝tan π5. 又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增，∴tan π5<tan π4，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5.题型三 正切函数图像、性质的应用例3 设函数f （x ）＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.（2）作出函数f （x ）在一个周期内的简图．画正切函数的图像主要采用“三点二线”法，两线即为渐近线（1）求函数f （x ）的最小正周期，对称中心； 解 （1）∵ω＝12， ∴最小正周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2（k ∈Z ），得x ＝k π＋2π3（k ∈Z ），∴f （x ）的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0（k ∈Z ）.（2）令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π4，则x ＝7π6； 令x 2－π3＝－π4，则x ＝π6；令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3. 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3.∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的图像与x 轴的一个交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f （x ）在一个周期⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，5π3内的简图（如图）.规律方法 熟练掌握正切函数的图像和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 隔开的无穷多支曲线组成的， y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .【训练3】 画出f （x ）＝tan|x |的图像，并根据其图像判断其单调区间、周期性、奇偶性．解 f （x ）＝tan|x |化为f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0（k ∈Z ），－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0（k ∈Z ），根据y ＝tan x 的图像，作出f （x ）＝tan|x |的图像，如图所示，由图像知f （x ）不是周期函数，是偶函数，单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，k π＋32π（k ∈N ）；单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－32π，k π－π2（k ＝0，－1，－2，…）.一、素养落地1．通过本节课的学习，提升学生的数学抽象、逻辑推理素养．2．正切函数y ＝tan x 有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．3．（1）正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .（2）正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan （ωx ＋φ） （Aω≠0）的周期为T ＝π|ω|.（3）正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π（k ∈Z ）上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间． 二、素养训练1．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的定义域为（ ）A ．{x |x ≠π12}B ．{x |x ≠－π12}C ．{x |x ≠π12＋k π，k ∈Z }D ．{x |x ≠π12＋12k π，k ∈Z }解析 由2x ＋π3≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π12＋12k π，k ∈Z ，故函数的定义域为{x |x ≠π12＋12k π，k ∈Z }． 答案 D2．函数f （x ）＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间是（ ）A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．（k π，k π＋π），k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 解析 由－π2＋k π<x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ，得－3π4＋k π<x <π4＋k π，k ∈Z ，故f （x ）的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＋k π，π4＋k π，k ∈Z . 答案 C3．函数y ＝2tan （－3x ＋π4）的最小正周期是（ ） A.π6 B.π3 C.π2D ．π解析 T ＝π|－3|＝π3. 答案 B4．比较大小：tan 12 tan 52.解析 因为tan 12>0，tan 52<0，所以tan 12>tan 52. 答案 >5．求函数y ＝tan 2x 的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图像． 解 由2x ≠π2＋k π，k ∈Z ， 得x ≠π4＋12k π，k ∈Z ，即函数的定义域为{x |x ≠π4＋12k π，k ∈Z }，值域为（－∞，＋∞），周期为T ＝π2，对应图像如图所示．基础达标一、选择题1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5，x ∈R 的一个对称中心是（ ）A ．（0，0） B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫45π，0 D ．（π，0） 答案 C2．函数y ＝tan x ＋1tan x 是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数解析 函数的定义域是{x |x ≠12k π，k ∈Z }，且tan （－x ）＋1tan （－x ）＝－tan x －1tan x ＝－（tan x ＋1tan x ），所以函数y ＝tan x ＋1tan x 是奇函数． 答案 A3．若x ∈[0，2π]，y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为（ ）A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，2π 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，－cos x ≥0，0≤x ≤2π，∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2，故选C. 答案 C4．下列各式正确的是（ ）A ．tan 735°>tan 800°B ．tan 1>－tan 2C ．tan 5π7<tan 4π7D ．tan 9π8<tan π7答案 D5．已知函数f （x ）＝tan ωx （ω>0）的图像的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是（ ） A ．0B ．1C ．－1 D.π4 答案 A解析 由题意，T ＝πω＝π4，∴ω＝4.∴f （x ）＝tan 4x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π＝0. 二、填空题6．函数y ＝tan x （π4≤x ≤3π4，且x ≠π2）的值域是 ．解析 函数y ＝tan x 在[π4，π2）上单调递增，在（π2，3π4]上也是单调递增，所以函数的值域是（－∞，－1]∪[1，＋∞）.答案 （－∞，－1]∪[1，＋∞）7．比较大小：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π7 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5. 解析 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π7＝tan 5π7，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＝tan 4π5，又y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是增函数， 所以tan 5π7<tan 4π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π7<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5. 答案 <8．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是 ． 解析 由题意可得－π2＋k π<2x －π6≤π4＋k π，k ∈Z ，解之得－π6＋12k π<x ≤5π24＋12k π，k ∈Z .答案 {x |－π6＋12k π<x ≤5π24＋12k π（k ∈Z ）} 三、解答题9．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4的值域． 解 ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈[－1，1]．∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－（t －2）2＋5.∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4， 当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4，4]．10．画出函数y ＝|tan x |的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性． 解 由y ＝|tan x |得，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2（k ∈Z ），－tan x ，－π2＋k π<x <k π（k ∈Z ）其图像如图：由图像可知，函数y ＝|tan x |是偶函数．函数y ＝|tan x |的周期T ＝π，函数y ＝|tan x |的单调递增区间为[k π，k π＋π2）（k ∈Z ），单调递减区间为（k π－π2，k π）（k ∈Z ）.能力提升11．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图像是（ ）解析 当π2<x <π时，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <3π2时，tan x >sin x ，y ＝2sin x <0.故选D.答案 D12．已知函数f （x ）＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. （1）当θ＝－π6时，求函数的最大值和最小值；（2）若y ＝f （x ）在区间[－1，3]上是单调函数，求θ的取值范围． 解 （1）当θ＝－π6时，f （x ）＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －332－43. ∵x ∈[－1，3]，∴当x ＝33时，f （x ）取得最小值－43，当x ＝－1时，f （x ）取得最大值233.（2）f （x ）＝（x ＋tan θ）2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数，它的图像的对称轴为直线x ＝－tan θ.∵y ＝f （x ）在区间[－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2. 创新猜想13．（多选题）下列说法正确的是（ ）A ．正切函数是周期函数，最小正周期为πB ．正切函数的图像是不连续的C ．直线x ＝k π＋π2（k ∈Z ）是正切曲线的渐近线D ．把y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的图像向左、右平行移动k π个单位，就得到 y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，x ≠k π＋π2的图像 解析 正切函数是周期函数，周期为k π（k ∈Z ，k ≠0），最小正周期为π；正切曲线是由相互平行的直线x ＝π2＋k π（k ∈Z ）（称为渐近线）所隔开的无穷多支曲线组成的，故A ，B ，C 均正确，选项D 中，没有明确k 的取值，故D 错． 答案 ABC14．（多选题）关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法错误的是（ ） A ．是奇函数B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图像的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析 A 、B 错误，T ＝π2，故D 错，当x ＝π6时，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π3＝tan 0＝0，C 正确． 答案 ABD。