复习回顾
1.正数指数幂的运算性质：
（1） aman amn (a 0, m, n Z);
（2） (am )n amn (a 0, m, n Z);
（3）（ab)m ambm (a 0, m, n Ζ)
2.根式的运算性质
(1) ( n a )n a
(2) 如果n为奇数，an的n次方根就是a，即
1
56 5 6 5 5;
(2)
a2 a 3 a2

a2
12
a2 a3
2 1 2
a 2 3
5
a6
6 a5 .
3.计算下列各式的值：
(1)（
36
3
）2 ;
1491 1
(3) a 2 a 4 a 8 ;
(2) 2 3 3 1.5 6 12;
(4)
2x（13 1
1
x3

2
x

2
3）.
解：
2
(1)（
36
3
）2
（
6
）2
3 2
（6）3
216 ;
(2)
49
2 3
7
3 1.5
6 12
7

113143 1 1 1
2 3 3 32 3 6
6;
1 1 1
111
5
(3) a 2 a 4 a 8 a 2 4 8 a8 ;
(4)
2x（13 1
m
a n
1
m
，零的正分数指数幂是零，负分数指数幂没
有意义。a n
2.有理数指数幂的运算法则是：
(1) ar as ars (a 0, r, s Q);
(2) (ar )s ars (a 0, r, s Q);
(3) (ab)r arbr (a 0,b 0, r Q).
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第2课时 分数指数幂及运算
1.结合具体例子体会分数指数幂的过程，体会引入数学 概念的过程； 2.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算法则， 会根据根式和分数指数幂的关系和分数指数幂的运算法 则进行计算分数指数幂； 3.了解可以由有理数指数幂无限逼近无理数指数幂。
…
5 2 的近似值
9.518 269 694 9.672 669 973 9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907 9.738 508 928 9.738 516 765 9.738 517 705 9.738 517 736
…
2 的不足近似值 1.4 1.41
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1)
注：在上述限制条件下，根式都可以写成分数指数幂的 形式。
正数的负分数指数幂的意义与负分数指数幂的意
义相仿，我们规定：
m
an

1
m
an

1 n am
(a 0, m, n N*, n 1)
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563
…
5 2 的近似值
11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752
2 2
a 3
8
a3;
11
41
2
a 3 a (a a3 )2 (a3 )2 a3.
1.用根式表示下面各式（a>0)
1 3 3 2
a2,a4,a 5,a 3.
1
答案： a 2 a;
3
a4 4 a3 ;
3
a5
1
;
5 a3
2
a 3
1
.
3 a2
2.用分数指数幂表示下列各式：
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指
数推广到了有理数指数。
探究点2 有理数指数幂的运算性质
(1) ar as ars (a 0, r, s Q);
(2) (ar )s Байду номын сангаасrs (a 0, r, s Q);
(3) (ab)r arbr (a 0,b 0, r Q).
1
x3

2
x

2
3）
1

4.
2
x
探究点3 无理数指数幂
当幂指数是无理数时，a (a 0,是无理数）
是一个确定的实数，无理数指数幂可以由有理数指 数幂无限逼近而得到，有理数指数幂的运算法则对 无理数指数幂也成立。
5 观察下表： 2 的是否表示一个确定的实数？
2 的过剩近似值 1.5 1.42
解析答案
条件求值问题
通法提炼
条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已
知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条
件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程.本题若
通过a
1 2
＋a－
1 2
＝3解出a的值代入求值，则非常复杂.
——易错警示系列——
1
忽视a n (n为偶数)中a的取值范围导致出错
n an a (n为奇数）
如果n为偶数， n an 表示an的正的n次方根，所以当 a 0 ，
这个方根等于a，当a<0时，这个方根等于-a，
n
an

a
a, (a 0), a (a 0).
(3)
0的任何次方根都是0，记作 n 0 0.
探究点1 分数指数幂
规定正数的正分数指数幂的意义是：
1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562
…
由上可以看出：5 2可以由 2的不足近似
值和过剩近似值进行无限逼近。
1.分数指数幂是根据根式的意义引入的，正数的正分数
指数幂的意义是
m
an

n
am
，负分数指数幂的意义是
（ 2）3

27 .
81
3
38
例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a>0):
a3 a; a2 3 a2 ; a 3 a .
分析：根据分数指数幂和根式的关系，以及有理数指
数幂的运算法则解决。
解： a3
a

1
a3 a2

3 1
a2

7
a2;
a2 3
a2
2
a2 a3
例2
求值：
8
2 3
;

25
1
2（;
1
）5（, 16
） 34
.
2 81
解：
2
83
2
(23)3
3 2
2 3

22

4;
1
25 2

(52

)
1 2
2( 1 )
5 2
51

1;
5
（1）5 (21)5 25 32; 2
（16 ） 34
（
2
）4(
3 4
)
(3)已知
x
12＋x
1
x2＋1
2＝5，求 x 的值.
解
由
x
1
2＋x
-12＝5，两边同时平方得
x＋2＋x－1＝25，
整理得：x＋x－1＝23，则有x2＋x 1＝23.
解析答案
成功和失败本是同一片旷野，它是会令你 溺水的深潭，也是能为你解渴的甘泉。

4ab0

4a;
(2)
(m
1 4

n
3 8
)8

(m
1 4
)8

(n
3 8
)8

m2n3

m2 n3
.
例5.计算下列各式：
(1) ( 3 25 125) 4 25; (2)
a2 a 3 a2
(a 0).
解：(1) ( 3 25 125) 4 25
2
3
1
2
1
3
1
(53 52 ) 52 53 52 52 52
(1)
21
11
15
(2a 3b2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 );
(2)
(m
1 4

n
3 8
)8.
分析：根据有理数指数幂的运算法则和负分数指数幂的
意义求解。
21
11
15
解： (1) (2a 3b2 )(6a 2b3 ) (3a6b6 )
211 115
[2 (6) (3)]a 3 2 6b2 3 6
2
(1) 3 x2 ;
x3
(2) 4 (a b)3 (a b 0);
3
(a b)4
(3) 3 (m n)2 (m n);
2
(m n)3
(4) (m n)4 (m n);
(5) p6q5 ( p 0);
(m n)2