重点高中数学：函数解析式的十一种方法————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高中数学：函数解析式的十一种方法一、定义法 二、待定系数法 三、换元（或代换）法 四、配凑法 五、函数方程组法七、利用给定的特性求解析式.六、特殊值法 八、累加法 九、归纳法 十、递推法 十一、微积分法一、定义法：【例1】设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f =6)1(5)1(2++-+x x 65)(2+-=∴x x x f【例2】设21)]([++=x x x f f ，求)(x f . 【解析】设xx x x x x f f ++=+++=++=111111121)]([xx f +=∴11)(【例3】设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .【解析】2)(2)1(1)1(2222-=∴-+=+=+x x f x x x x x x f又x x x g x x x x xx x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+ 故2962)3()]([24623-+-=--=x x x x x x g f【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.【解析】)2(17cos )]2[cos()(sin x x f x f -=-=ππx x x 17sin )172cos()1728cos(=-=-+=πππ.二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

【例1】 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 【例2】已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .【解析】显然，)(x f 是一个一元二次函数。

设)0()(2≠++=a c bx ax x f则c x b x a x f +-+-=-)2()2()2(2 )24()4(2c b a x a b ax +-+-+= 又1392)2(2+-=-x x x f比较系数得：⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=1324942c b a a b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==312c b a 32)(2+-=∴x x x f三、换元（或代换）法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

【例1】 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 【解析】令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xx x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x【例2】 已知,11)1(22x xx x x f ++=+求)(x f . 【解析】设,1t x x =+则11-=t x 则x x x x x x x f t f 11111)1()(222++=++=+= 1)1()1(1111)11(11222+-=-+-+=-+-+=t t t t t t 1)(2+-=∴x x x f 【例3】 设x x f 2cos )1(cos =-，求)(x f .解：令1cos ,1cos +=∴-=t x x t又0201cos 2,1cos 1≤≤-≤-≤-∴≤≤-t x x 即]0,2[,)1()()02(,)1()(22-∈+=≤≤-+=∴x x x f t t t f 即【例4】 若x xx f x f +=-+1)1()( （1） 在（1）式中以xx 1-代替x 得x x xx x x f x x f 11)111()1(-+=---+-即x x x f x x f 12)11()1(-=--+- （2） 又以11--x 代替（1）式中的x 得：12)()11(--=+--x x x f x f （3） )1(112121)(2:)2()3()1(23---=----++=-+x x x x x x x x x x f 得)1(21)(23---=∴x x x x x f【例5】设)0,,()1()()(b a ，c b a cxxbf x af x f ±≠=+且均不为其中满足，求)(x f 。

【解析】cx x bf x af =+)1()( （1）用x 1来代替x ，得xc x bf x af 1)()1(⋅=+ （2） 由xbcacx x f b a b a -=-⨯-⨯222)()(:)2()1(得xb a bcacx x f ba )()(222--=∴±≠【例6】已知2)(21+=-x af x ，求)(x f .【解析】设01 -=x a t，则t x a log 1=- 即1log +=t x a代入已知等式中，得：3log 2log 2)1(log )(22++=++=t t t t f a a a3log 2log )(2++=∴x x x f a a四、配凑法已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时，若[()]f g x 表达式右边易配成()g x 的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。

【例1】已知(1)2,f x x x +=+求()f x 的解析式。

【解析】2x x +可配凑成∴可用配凑法由2(1)2()1f x x x x +=+=+- 令1t x =+1x t ≥∴≥则2()1f t t =- 即2()1(1)f x x x =-≥ 当然，上例也可直接使用换元法 令1t x =+ 则1t x =+ 得222(1)()(1)2(1)1x t f t t t t =-∴=-+-=- 即 2()1(1)f x x x =-≥由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。

【 例 2】已知2211(),f x x x x-=+求()f x .【解析】此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。

由222111()()2f x x x x x x-=+=-+令2110t x x tx x =-⇒--=由0∆≥即240t +≥得t R ∈ 2()2f t t ∴=+即：2()2()f x x x R =+∈实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来，在通过整体换元。

和换元法一样，最后结果要注明定义域。

五、函数方程组法。

函数方程组法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数()f x 混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。

【 例1】设()f x 满足1()2(),f x f x x-=求()f x 的解析式。

【解析】要求()f x 可消去1()f x ,为此，可根据题中的条件再找一个关于()f x 与1()f x的等式，通过解方程组达到消元的目的。

1()2()f x f x x-=………………………①显然，0x ≠,将x 换成1x得11()2()f f x x x-=……………………………..②由1()2()11()2()f x f x x f f x xx ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去1()f x，得12()33f x x x=--小结：函数方程组法适用于自变量的对称规律。

互为倒数，如f(x)、1()f x；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。

【 例 2】已知2)(21+=-x af x ，求)(x f .【解析】设01 -=x a t，则t x a log 1=- 即1log +=t x a代入已知等式中，得：3log 2log 2)1(log )(22++=++=t t t t f a a a3log 2log )(2++=∴x x x f a a【例 3】设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 【解析】)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，)()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴又11)()(-=+x x g x f ① ， 用x -替换x 得：11)()(+-=-+-x x g x f 即11)()(+-=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得11)(2-=x x f ， xx x g -=21)( 六、特殊值法：（赋值类求抽象函数）【例1】设)(x f 是定义在N 上的函数，满足1)1(=f ，对于任意正整数y x ,，均有xy y x f y f x f -+=+)()()(，求)(x f .解：由1)1(=f ，xy y x f y f x f -+=+)()()(设1=y 得：x x f x f -+=+)1(1)(即：1)()1(+=-+x x f x f在上式中，x 分别用1,,3,2,1-t 代替，然后各式相加可得：t t t t t f 21211)1)(2(21)(2+=+-+=)(2121)(2*∈+=∴N x x x x f【例2】 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f【解析】对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f七．利用给定的特性求解析式.【例1】设)(x f 是偶函数，当x ＞0时， xe x e xf +⋅=2)(，求当x ＜0时，)(x f 的表达式.【解析】对x ∈R ， )(x f 满足)1()(+-=x f x f ，且当x ∈[－1，0]时， x x x f 2)(2+=求当x ∈[9，10]时)(x f 的表达式.七．利用给定的特性求解析式.八、累加法：（核心思想与求数列的通项公式相似）【例1】若af 1lg)1(=，且当),0(,lg )()1(,21*∈-=-≥-N x a a x f x f x x 满足时，求)(x f . 【解析】),0(lg )1()(1*-∈+-=N x a a x f x f x递推得：2lg )2()1(-+-=-x a x f x f3lg )3()2(-+-=-x a x f x f…… ……2lg )2()3(a f f +=a f f lg )1()2(+=以上)1(-x 个等式两边分别相加，得：122lg lg lg lg )1()(--+++++=x x a a a a f x f )1()2(21lg )1(-+-++++=x x a f12)1(2)1(lg lg 1lg ---=+=x x x x aaaa x x lg ]12)1([--= 九、归纳法：【例1】已知a f N x x f x f =*∈+=+)1()(),(212)1(且，求)(x f . 【解析】a a f f a f 2124212)1(212)2(,)1(+-=+=+==a a f f 202124)212(212)2(212)3(+-=++=+=a a f f 312124)413(212)3(212)4(+-=++=+=-a a f f 422124)81213(212)4(212)5(+-=++=+=-………………………………，依此类推，得a x f x x 132124)(--+-=再用数学归纳法证明之。