《工程力学》第8次作业解答（应力状态与强度理
论）
2010-2011学年第2学期
一、填空题
1．过构件内某点各个截面中的最大正应力和最小正应力就是该点处的主应力。

2．最大切应力作用面与主应力作用面成45°度角。

3．研究点的应力状态，通常是围绕该点取单元体，由于单元体尺寸为无穷小，所以可认为单元体每个侧面上的应力是均匀分布的；两相互平行的侧面上相应的应力大小是相等的，符号是相反的。

4．若单元体某一截面上的切应力为零，则该截面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力。

一个单元体上有相互垂直的三对主平面，因此有三个主应力，它们按代数值大小的排列顺序是。

5．人们把从生产实践和力学试验中观测到的材料失效现象与构件的应力分析相结合，提出了一些解释材料在复杂应力状态下失效原因的假说，这些假说称为强度理论。

材料失效的现象尽管多种多样，但其主要形式不外乎两种：一是脆性断裂，二是塑性屈服。

6．第一强度理论认为最大拉应力是引起材料失效的原因，其强度条件为。

7．第三强度理论认为最大切应力是引起材料失效的原因，其强度条件为。

8．第四强度理论认为形状改变比能是引起材料失效的原因，其强度条件为。

二、问答题
1、什么叫一点处的应力状态？为什么要研究一点处的应力状态？如何研究一点处的应力状态？
答：所谓一点的应力状态，就是通过受力构件内某一点的各个截面上的应力情况。

由杆件拉（压）、扭转和弯曲等几种基本变形形式下，可进行横截面上的内力、应力、强度和刚度计算。

但是这些计算还不能解决某些同时存在几种基本变形时的强度问题，也不能建立既有正应力和切应力存在时的强度准则。

为了解决以上问题，还必须分析受力构件上上一点的应力状态，在此基础上建立一般应力状态下的强度准则，以解决构件在
复杂受力时的强度计算问题。

描述构件上一点的应力状态的方法，是围绕这一点取一个微小正六面体单元，当六面体的各边边长充分小时，便趋于宏观上的点。

这样的正六面体微元，当边长无限小时称为单元体。

如果如果单元体上的应力已知，就可确定该点的应力状态。

2、什么叫单元体？什么叫主平面和主应力？主应力与正应力有什么区别？
单元体就是围绕一点用三对互相垂直的平面截取的边长无限小的正六面体。

切应力为零的平面称为主平面，作用在主平面上的正应力称为主应力。

一般而言，过受力构件上某点的平面上既有正应力又有切应力，主应力就是切应力为零时平面上的正应力，是正应力的一种特例，并且主应力还是正应力的极值。

一般正应力由选取单元体的方位确定，主应力一般需要通过分析单元体的正应力和切应力才能确定其方位。

三、计算题
1、试画出图示简支梁上点和处的应力单元体，并算出这两点的主应力数值。

解：（1）求支座反力
受力图如右所示，由于结构和载荷对称，故
kN
（2）作内力图
内力图如右所示。

由图可知A、B两处的剪力和弯矩大小相等。

（3）确定A、B处内力
由内力图可得：
kN
kN.m
（4）确定A、B两处的正应力和切应力及原始单元体图
A处横截面上的应力及单元体图
MPa
Mpa
单元体图如右所示。

由图知：Mpa，Mpa，Mpa，故主应力为
故Mpa，，Mpa
B处横截面上的应力及单元体图
MPa
MPa
单元体图如右所示。

由图知：Mpa，Mpa，Mpa，故主应力为
故Mpa，，Mpa，
2、试求各单元体中指定斜截面上的正应力和切应力。

解：（a）单元体斜截面上正应力和切应力
图示单元体中，，MPa，MPa，，故k
MPa
MPa
（b）单元体斜截面上正应力和切应力
图示单元体中，已知：已知：，，MPa，MPa，故MPa
MPa
（c）单元体斜截面上正应力和切应力
图示单元体中，已知：已知：，MPa，MPa，MPa，故MPa
MPa
3、对于下列所示的单元体，试求：
（1）求出主应力和主平面方位；
（2）画出主单元体；
（3）最大切应力。

解：图（a）
图示单元体中，已知：MPa，
MPa，MPa。

（1）主应力和主平面方位
主应力确定
MPa
故主应力：Mpa，，Mpa
主平面方位确定
解得：，
（2）画主单元体（如右图所示）
（3）最大切应力
Mpa
图（b）
图示单元体中，已知：MPa，MPa，MPa。

（1）主应力和主平面方位
主应力确定
MPa
故主应力：Mpa，Mpa，
主平面方位确定
解得：，另一主平面方位角：
（2）画主单元体（如右图所示）
（3）最大切应力
Mpa
4、如图所示的圆轴，直径，如拉力KN，扭矩KN·m，。

试按第三和第四强度理论，校核其强度。

解：（1）原始单元体上应力确定
正应力计算
原始单元体上正应力由杆的拉伸
引起，用拉杆横截面上应力公式
计算
MPa
切应力计算
原始单元体上的切应力由杆的扭转引起，可用圆轴扭转横截面切应力公式计算。

由上图可知其扭矩为负，且kN.m，故
Mpa
（2）主应力确定
MPa
故主应力分别为：Mpa，，Mpa。

（3）按第三强度理论校核强度
Mpa<
强度满足要求。

（4）按第四强度理论核强度
Mpa<
强度满足要求。