平面向量的数量积及应用 编稿：李霞 审稿：孙永钊【考纲要求】1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 【知识网络】【考点梳理】 考点一、向量的数量积 1. 定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos θa b 叫做a 和b 的数量积（或内积），记作⋅a b ，即||||cos ⋅=θa b a b .规定：零向量与任一向量的数量积为0. 要点诠释：（1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与余弦值决定 . （2）在运用数量积公式解题时，一定注意两向量夹角范围0︒≤θ≤180︒.此外，由于向量具有方向性，一定要找准 θ是哪个角.2. 平面向量的数量积的几何意义我们规定||cos θb 叫做向量b 在a 方向上的投影，当θ为锐角时，||cos θb 为正值；当θ为钝角时，平面向量数量积及应用平面向量的数量积平面向量的应用平面向量的坐标运算||cos θb 为负值；当θ=0︒时，||cos ||θ=b b ；当θ=90︒时，||cos 0θ=b ；当θ=180︒时，||cos ||θ=-b b .⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与 b 在a 方向上的投影||cos θb 的乘积.要点诠释：b 在a 方向上的投影是一个数量，它可正、可负，也可以等于0.3. 性质：（1） 0⊥⇔⋅=a b a b(2) 当a 与b 同向时，||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，||||⋅=-a b a b . 特别地22||||⋅==，即a a a a a(3) cos ||||⋅θ=a ba b(4) ||||⋅≤a b a b 4. 运算律设已知向量a 、b 、c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： (1) ⋅=⋅a b b a (交换律) (2) ()()()λ⋅=λ⋅=⋅λa b a b a b (3) ()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c 要点诠释：①当0≠a 时，由0⋅=a b 不一定能推出0=b ，这是因为对任何一个与a 垂直的向量b ，都有0⋅=a b ；当0≠a 时，⋅=⋅a b a c 也不一定能推出=b c ，因为由⋅=⋅a b a c ，得()0⋅-=a b c ，即a 与()-b c 垂直.也就是向量的数量积运算不满足消去律.②对于实数,,a b c ，有()()a b c a b c ⋅=⋅，但对于向量来说，()()⋅⋅=⋅⋅a b c a b c 不一定相等，这是因为()⋅⋅a b c 表示一个与c 共线的向量，而()⋅⋅a b c 表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以()⋅⋅a b c 与()⋅⋅a b c 不一定相等.5. 向量的数量积的坐标运算①已知两个非零向量11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，那么1212x x y y ⋅=+a b ；②若(,)x y =a ，则2222,x y x y ⋅==+=+a a a a③若1122(,),(,)x y x y ==A B ，则(AB x ==AB 离公式；④若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则12120x x y y 0⊥⇔⋅=⇔+=a b a b 6. 重要不等式若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则||||||||-≤⋅≤a b a b a b1212x x y y ⇔≤+≤ 考点二、向量的应用（1）向量在几何中的应用①证明线段平行，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件；1221//x y x y 0⇔=λ⇔-=a b a b （0→≠b ）②证明垂直问题，常用垂直的充要条件；12120x x y y 0⊥⇔⋅=⇔+=a b a b③求夹角问题；利用夹角公式：121cos cos ,||||x θ⋅=<>==⋅+a ba b a b 平面向量,a b 的夹角[0]θπ∈，④求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模2x =⋅=+a a a 或(AB x ==AB （2）向量在物理中的应用①向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用； ②向量在速度的分解与合成中的应用. 【典型例题】类型一、数量积的概念【高清课堂：平面向量的数量积及应用401196 例4】 例1．已知向量5(1,2),(2,4),||5,(),2a b c a b c a c =--=+⋅=若则与的夹角为（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【解析】∵2=-b a ，∴,a b 是共线向量，(1,2)+=--a b∴5()||||cos ,55cos ,2+⋅=+<+>=⨯⨯<+>=a b c a b c a b c a b c ，∴1cos ,2<+>=a b c ， ∴向量+a b 和c 所成角为060，又a 与+a b 共线且方向相反， ∴向量a 和c 所成角为0120，从而选项C 正确.【总结升华】+a b 仍旧是一个向量，本题的关键之处就是注意到a ，b ，+a b 是共线向量，从而将a 和c 的夹角问题进行有效的转化.举一反三：【变式1】已知向量a 与b 的夹角为120°，1,3==a b ，则5-=a b ________ 【答案】7【解析】 22222215(5)25102511013()3492-=-=-⋅+=⨯-⨯⨯⨯-+=a b a b a a b b , ∴57-=a b .【变式2】已知||2=a , ||1=b , 与a b 夹角为060，则向量2=+m a b 与向量4=-n a b 的夹角的余弦值为________.【答案】147-【解析】由向量的数量积的定义，得0||||cos 21cos 601⋅=⋅θ=⨯⨯=a b a b∵2=+m a b ，4=-n a b , ∴222||(2)4421=+=+⋅+=m a b a a b b222||(4)81623=-=-⋅+=n a b a a b b设m 与n 的夹角为θ，则22(2)(4)2743⋅=+-=-⋅-=-m n a b a b a a b b∴cos 14|||21⋅θ===-⋅m n m n | 即向量m 与n 的夹角的余弦值为147-. 【变式3】两个非零向量a 、b 互相垂直，给出下列各式：①0⋅=a b ；②+=-a b a b ；③+=-a b a b ；④222()+=-a b a b ；⑤()()0+⋅-=a b a b . 其中正确的式子有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】B【解析】①显然正确；由向量运算的三角形法则知+a b 与-a b 长度相等，但方向不同，所以②错误；③正确；由向量数量积的运算律可知④正确；只有在=a b 时，+a b 与-a b 才互相垂直，⑤错误，故①③④正确，故选B.例 2.（2016 浙江高考）已知平面向量a →，b →，|a →|=1，|b →|=2，a →·b →=1．若e →为平面单位向量，则|a →·e →|+|b →·e →|的最大值是______． 【答案】7【解析】由|a →|=1，|b →|=2，a →·b →=1得，<a →，b →>=60°，不妨取a →=（1，0），b →=（1，3），设e →=（cos θ，sin θ），则|a →·e →|+|b →·e →|=| cos θ|+| cos θ+3 sin θ|≤| cos θ|+| cos θ|+3| sin θ| =2| cos θ|+3| sin θ|，取等号时cos θ与sin θ同号， 所以2| cos θ|+3| sin θ|=|2 cos θ+3sin θ|=7|7cos θ+37sin θ|=7|sin （θ+β）|， (其中sin β=7，cos β=37，取β为锐角)，显然7|sin （θ+β）|≤7，故所求最大值为7。

【总结升华】考查平面向量数量积和模的问题，注意结合向量坐标转换成代数运算求最值问题.举一反三：【变式1】若a 、b 、c 均为单位向量，且0⋅=a b ，()()+⋅+a b b c 的最大值为________ 【答案】12+【解析】因为a 、b 、c 均为单位向量，且0⋅=a b ， 设a =（1，0），b =（0，1），(cos ,sin )=θθc ,()()(1,1)(cos ,1sin )cos 1sin 2sin()14π∴+⋅+=⋅θ+θ=θ++θ=θ++a b b c ,故()()+⋅+a b b c 的最大值为12+.【变式2】设向量a ，b ，c 满足1==a b ，12⋅=-a b ，,60<-->=a c b c 则c 的最大值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 【解析】由12⋅=-a b 得,120<>=a b ，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，则∠AOB=120°， CA =-a c ，CB =-b c ，∵,60<-->=a c b c ，∴∠ACB=60°，∴O 、A 、C 、B 四点共圆。

c 的最大值应为圆的直径2R ，在△AOB 中，OA=OB=1，∠AOB=120°，所以3AB =，由正弦定理得22sin ABR AOB==∠. 故选A.【变式3】已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________;DE DC ⋅的最大值为________.【答案】1；1【解析】根据平面向量的点乘公式||||cos DE CB DE DA DE DA θ⋅=⋅=⋅,可知||cos ||DE DA θ=,因此2||1DE CB DA ⋅==;||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα⋅=⋅=⋅,而||cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影,要想让DE DC ⋅最大,即让射影最大,此时E 点与B 点重合,射影为||DC ,所以长度为1 .例3.（2015 长沙校级二模）在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB=EF=1，BC=6，，若，则与的夹角的余弦值等于 ．【答案】【解析】由题意可得==+﹣2•=33+1﹣2•=36，∴•=﹣1．由可得+=+++=1﹣+（﹣1）+=•（）=•=2， 故有 =4． 再由=1×6×cos ＜＞，可得 6×cos ＜＞=4，∴cos ＜＞=，【总结升华】考查平面向量数量积角度和模的问题，特别注意夹角的方向. 画出示意图，有助于分析解决问题.举一反三：【变式1】.（2015 上海模拟）已知向量，的夹角为，||=1，且对任意实数x ，不等式|x +2|≥|+|恒成立，则||的取值范围是（ ） A ．[，+∞） B ．（，+∞）C ．[1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C【解析】由题意可得x 2•+4x •+4≥+2+恒成立，化简可得x 2+2||x +（|3﹣||﹣1）≥0恒成立，∴△=4﹣4（|3﹣||﹣1）≤0．化简可得（2||+1）（||﹣1）≥0，求得||≥1，故选：C ．【高清课堂：平面向量的数量积及应用401196 例1】【变式2】已知a 、b 都是非零向量，且a +3b 与7a -5b 垂直，a - 4b 与7a -2b 垂直，求a 与b的夹角θ。