计算题标准练(三)
满分32分,实战模拟,20分钟拿到高考计算题高分!
1.(12分)如图所示,在倾角为θ=37°的足够长固定斜面底端,一质量m=1kg的小物块以某一初速度沿斜面上滑,一段时间后返回出发点。

物块上滑所用时间t1和下滑所用时间t2大小之比为t1∶t2=1∶,g取10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8。

求：
(1)物块由斜面底端上滑时的初速度v1与下滑到底端时的速度v2的大小之比。

(2)物块和斜面之间的动摩擦因数。

(3)若给物块施加一大小为5N、方向与斜面成适当角度的力,使物块沿斜面向上加速运动,求加速度的最大值。

【解析】(1)设物块上滑的最大位移为L,根据运动学公式,
上滑过程：L=t1;
下滑过程：L=t2;
整理得：v1∶v2=∶1
(2)设上滑时加速度为a1,下滑时加速度为a2,
根据牛顿第二定律得,上滑时：
mgsinθ+μmgcosθ=ma1;
下滑时：mgsinθ-μmgcosθ=ma2;
由位移时间公式得：L=a1=a2;
联立三式代入数据得：μ=0.5
(3)设F与斜面的夹角为α,加速度为a,由牛顿第二定律得：
Fcosα-mgsinθ-μ(mgcosθ-Fsinα)=ma,
即：F(cosα+μsinα)-mg(sinθ+μcosθ)= ma,整理得：
F(cosα+sinα)-mg(sinθ+μcosθ)=ma
令tanβ=,则：F sin(α+β)-mg(sinθ+μcosθ)=ma
当sin(α+β)的最大值为1时,加速度的值达到最大,设最大值为a m,
则F-mg(sinθ+μcosθ)=ma m;
代入数据得：a m=2.5m/s2。

答案：(1)∶1 (2)0.5 (3)2.5m/s2
2.(20分)如图所示,在xOy坐标系中,坐标原点O处有一点状的放射源,它向xOy平面内的x轴上方各个方向发射α粒子,α粒子的速度大小均为v0,在0<y<d的区域内分布有指向y轴正方向的匀强电场,场强大小
为E=,其中q与m分别为α粒子的电量和质量;在d<y<2d的区域内分布有垂直于xOy平面向里的匀强磁场,mn为电场和磁场的边界。

ab为一块很大的平面感光板垂直于xOy平面且平行于x轴,放置于y=2d 处,如图所示。

观察发现此时恰好无粒子打到ab板上(不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用),求：
(1)α粒子通过电场和磁场边界mn时的速度大小及距y轴的最大距离。

(2)磁感应强度B的大小。

(3)将ab板至少向下平移多大距离才能使所有的粒子均能打到板上?此时ab板上被α粒子打中的区域的长度是多少?
【解析】(1)根据动能定理：qEd=mv2-m;可得：v=2v0
初速度方向与x轴平行的粒子通过边界mn时距y轴最远,由类平抛知识：d=at2;Eq=ma;x=v0t;
解得：x=d。

(2)根据上述结果可知：对于沿x轴正方向射出的粒子,进入磁场时与x轴正方向夹角θ=,
若此粒子不能打到ab板上,则所有粒子均不能打到ab板,因此此粒子轨迹必与ab板相切,
可得其圆周运动的半径：r=d;
又根据洛伦兹力提供向心力：qvB=m;
可得：B=
(3)由分析可知沿x轴负方向射出的粒子若能打到ab板上,则所有粒子均能打到板上;其临界情况就是此粒子轨迹恰好与ab板相切。

由分析可知此时磁场宽度为原来的;
则：ab板至少向下移动Δy=d。

沿x轴正方向射出的粒子,打在ab板区域的右边界,由几何知识可知：
ab板上被粒子打中区域的长度：
L=2x+r=d+d。

答案：(1)2v0 d
(2)(3) d d+ d。