第8章量子力学若干进展
8.1复习笔记
一、朗道能级
1．能级推导
电子在均匀外磁场B（沿z 方向）中，取朗道规范后，得定态薛定谔方程：
ψψψE p p y B e p m H z y x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22221 鉴于力学量(,,)x z H p p 互相对易，得相应本征态为：
)(),,(/)(y e z y x z p x p i z
x χψ +=其中，()y χ满足谐振子能量本征值方程（平衡位置在0y ）：
)()2()()()(2)(22202222y m
p E y y y mc eB m y dy d m z χχχ-=-+- 其中，0||x cp y e B =。

由此可得出朗道能级：2,1()22
z z p n c p E n m ω=++ 。

2．结果讨论
（1）从经典观点出发：电子沿磁场方向做螺旋运动。

从量子观点出发：电子沿磁场方向做自由运动，在垂直磁场方向绕z 轴旋转。

（2）磁场对能量贡献1||(2z e n B B mc
μ+=- ，0z μ<称为朗道抗磁性，与电荷正负无关，是自由带电粒子在磁场中的一种量子效应。

（3）二维电子气的朗道能级简并度是外磁场ϕ中含元磁通量子（0||hc e ϕ=
）数目。

二、阿哈罗诺夫-玻姆效应
在经典电动力学中，场的基本物理量是电场强度E 和电磁感应强度B，势ψ和A 是为了方便引入的，并不是真实的物理量。

但在量子力学中，势ψ和A 具有可观测意义。

图8-1
1．实验及其现象
如图8-1，从电子枪S 出射的电子束流经双缝和两条路径21,P P 到达屏上，在两条路径中放置一个很长的电流螺线管，垂直纸面，管内磁场强度B 垂直纸面向外（取为z 轴）。

当螺线管通以电流时，屏上出现的干涉条纹产生了移动。

2．现象讨论
（1）因螺线管的外部并不存在磁场，所以经典电动力学中，磁场的物理效应不能完全用B 来进行描述。

（2）当螺线管内有磁通ϕ时，电子经过的外部空间B=0，但0≠A 时，因为对包围螺
线管的任一闭合回路路径积分有⎰=⋅φl d A ，矢势A 可以对电子发生相互作用。

因此，A-B
效应表明矢势A 具有可测量的物理效应。

它可以影响电子束的相位，从而使干涉条纹发生
移动。

三、贝利相位
量子力学中最重要的是概率幅的存在，而在实验中我们只能观测到概率幅的模方，因此，存在相位的变化并不影响模方，它是所有干涉现象的根源。

1．贝利相位的引入
在绝热变化过程中，系统每一瞬间都是准静止的，满足瞬时定态薛定谔方程：
(())|(())(())|(())n H R t n R t E R t n R t >=>
其中mn t R m t R n δ>=<))((|))((。

可以解得
()()|()|(())m m i t i t t e e m R t γαψ>=>
其中
，⎰-=t m m t R E dt 0''))((1 α称为动力学相位。

))(())
(()(''0''t R m t
t R m dt i t t m ∂∂=⎰γ称为贝利相位，是实的。

2．贝利相位的意义
首先引入R 空间的“矢势”>∇<=)(||)()(R m R m i R A R m ，则贝利相位)(C m γ可表
示为：
()()m m m
S
C dS B R γϕ=-⋅=-⎰⎰ 上式说明贝利相位是参数空间磁场强度的磁通量的负值，与演化路径的几何结构有关，又称几何相位。

其中，
∑≠-∇⨯∇=⨯-∇=m
n n m R R m m R E R E R m H R n R n H R m R A R B ))()(()()()()()()(Im )()( ，称为参数空间的磁场强度。

8.2
课后习题详解
本章无课后习题。

8.3名校考研真题详解
本章非重点，相关知识点在考研试题中涉及较少，可做选择性阅读。