专题4 平面向量与不等式结合考点动向：向量与不等式的交汇是当今高考命题的一个热点.自从新教材实施以来，在高考中，不时考查平面向量与不等式有关知识的结合。
这些题实际上是以向量为载体考查不等式的知识，解题的关键是利用向量的数量积等知识将问题转化为不等式的问题，转化时不要把向量与实数搞混淆，一般来说向量与不等式结合的题目难度不大。
向量与不等式结合，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查。
这类题目常常包括向量与不等式的性质、均值不等式、解不等式、求值包括（求最大值、最小值）的交汇等几个方面.可以预测到，明年仍至今后的高考中，还会继续出现向量与不等式结合的题目。
方法范例例1、（2005年，上海卷）已知函数b kx x f +=)(的图象与y x ,轴分别相交于点A 、B ，22+=（,分别是与y x ,轴正半轴同方向的单位向量），函数6)(2--=x x x g 。
（1） 求b k ,的值；（2）当x 满足)()(x g x f >时，求函数)(1)(x f x g +的最小值。
[解析] （1）通过交点坐标求出向量的坐标表示，列方程组，求b k ,的值；（2）先由),()(x g x f > 得 ,42<<-x 再对)(1)(x f x g +进行化简，得5212-+++x x ，然后利用不等式ab b a 2≥+求函数的最值.[答案]（1）由已知得},{),,0(),0,(b k b b B k b A =-则，于是 .21,22⎩⎨⎧==∴⎪⎩⎪⎨⎧==b k b k b （2）由,62),()(2-->+>x x x x g x f 得 即 ,42,0)4)(2(<<-<-+x x x 得,521225)(1)(2-+++=+--=+x x x x x x f x g 由于3)(1)(,02-≥+>+x f x g x 则， 其中等号当且仅当x +2=1，即x =－1时成立，∴)(1)(x f x g +时的最小值是－3. 例2、（2005年·黄岗模拟）已知二次函数)(x f 对任意x R ∈，都有)1()1(x f x f +=-成立，设向量)2,(sin x a =，)21,sin 2(x b =，)1,2(cos x c =，)2,1(=d ，当x ],0[π∈时，求不等式)()(d c f b a f ∙>∙的解集.[解析] 二次函数图象开口方向不确定，要分类讨论. 由)1()1(x f x f +=-，知二次函数)(x f 关于直线x ＝1对称.先求出向量数量积b a ∙与d c ∙，[答案]二次函数图象开口方向不确定，要分类讨论.由)1()1(x f x f +=-，知二次函数)(x f 关于直线x ＝1对称.当二次项系数A ＞0时，)(x f 在),1[+∞∈上递增，当A ＜0时，)(x f 在),1[+∞∈上递减.因为=∙b a )2,(si n x )21,s i n 2(x ∙＝1sin 22+x ≥1，=∙d c )1,2(cos x )2,1(∙＝22cos +x ≥1，所以当A ＞0时，由)()(d c f b a f ∙>∙，得1sin 22+x ＞22cos +x ，即02cos <x ，又因为0≤x ≤π，所以4π＜x ＜π43； 当A ＜0时，由)()(d c f b a f ∙>∙，得1sin 22+x ＜22cos +x ，即02cos >x ，又因为0≤x ≤π，所以0≤x ＜4π或π43＜x ≤π. 综上所述，当二次函数)(x f 二次项系数A ＞0时，不等式的解集｛x ∣4π＜x ＜π43｝；当二次函数)(x f 二次项系数A ＜0时，不等式的解集｛x ∣0≤x ＜4π或π43＜x ≤π｝. 例3、（2005年，浙江卷）已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a － e |，则（ ）.(A) a ⊥e ， (B) a ⊥(a －e )， (C) e ⊥(a －e )， (D) (a ＋e )⊥(a －e ).[解析] 对|a －t e |≥|a －e |进行平方，化成关于t 的二次不等式，利用二次函数性质，得0∆≤恒成立，从而得1a c ⋅=.[答案]解：对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，故两边平方得2222221,2210a t a c t a a c t t a c t a c -⋅⋅+≥-⋅⋅+-⋅⋅+⋅⋅-≥即：.又上式对任意t ∈R ，恒成立，即有：0∆≤恒成立.22421410c c c ∆⋅-⋅-=⋅-≤即=4（a ）（a ）（a ）.故当1a c ⋅=时，上式成立，本题应选 （C ）.[规律小结]（1）平面向量与不等式结合的问题，经常以向量为载体考查不等式的知识，解题的关键是利用向量的知识将问题转化为不等式的问题：解不等式，求最大值（最小值），转化时不要把向量与实数搞混淆。
（2）向量与不等式的结合，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，这类问题的解决思路通常是将向量的数量积的运算与模用坐标运算后，转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式求解，基中涉及到的有关向量的知识有：①向量的坐标表示及加法、减法、数乘向量；②向量的数量积；③向量平行、垂直的充要条件；④向量的模、夹角；⑤b a b a ⋅≤⋅；若a ),(11y x =,b ),(22y x =，有))(()(2221222122121y y x x y y x x ++≤+；⑥向量不等式：b a b a b a +≤±≤-|，||||||||||||a b a b a b -≤±≤+.（3）可能涉及不等式的内容有：①解分式不等式()()()0≠>a a x g x f 的一般解题思路：移项通分，分子分母分解因式，x 的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回.②含有两个绝对值的不等式：一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化③解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论.注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集. ④利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式2()2a b ab +≤等求函数的最值时，务必注意a ，b +∈R （或a ，b 非负），且“等号成立”时的条件是积ab 或和a ＋b 其中之一应是定值(一正二定三等).2211a b a b+≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号） ⑥比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法和放缩法.⑦含绝对值不等式的性质：a b 、同号或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-；a b 、异号或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+.⑧不等式的恒成立,能成立等问题1).恒成立问题：若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >；若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <.2).能成立问题：若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,即()A x f >在区间D 上能成立 ,则等价于在区间D 上()max f x A >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,即()B x f <在区间D 上能成立 ,则等价于在区间D 上的()min f x B <.考点误区分析：（1）对于||||||||||||a b a b a b -≤±≤+，要注意： ① a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； ② a b 、反向或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+； ③ a b 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+.(这些和实数集中类似)（2）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.（3）有些取值范围、最值问题，虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。
考生经常没想到而陷入困境.（4）注意对“整式、分式、绝对值不等式”的放缩途径，“配方、函数单调性等”对放缩的影响.同步训练：1、（2000年，全国卷）椭圆14922=+y x 的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当 ∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___。
2、（2005年，江苏卷）在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则OA OB OC ∙+（）的最小值是 .3、已知向量a ＝（2，2），向量b 与a 的夹角为π43，且a ∙b ＝－2. （1）求向量b ；（2）若t ＝（1，0）且b ⊥t ，c ＝（A c o s ，2cos 22C ），其中A 、C 是ABC ∆的内角，若三角形的三个内角依次成等差数列，试求c b +的取值范围.4、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求22PA PB +的最大值和最小值.5、若(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==，且a k -=+),0(R k k ∈>（1）试用k 表示b a ∙；（2） 求∙的最小值，并求出此时a 与b 的夹角θ的大小.[参考答案]1、[解析]解决与角有关的一类问题，总可以从平面向量数量积入手，通过坐标运算列出不等式。
F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （3cos θ,2sin θ），21PF F ∠ 为钝角∴123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-（ =9cos 2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0，解得：55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（553,553-）[答案] （553,553-） 2、[解析]如图设||,||202OA x OM x x ==-≤≤则，（）2M BC OC OM ∴+=为的中点，OB ，222OA O OC OA OM x x ∴∙+=∙=-∙︒（B ）（）cos180222421202,x x x x =-=--≤≤（）（） 1 2.x ∴=-当时，取最小值[答案]-2.3、[解析]（1）设b ＝（y x ,），由a ∙b ＝－2，得y x 22+＝－2，即y x +＝－1① 因为向量b 与a 的夹角为π43，a ＝2222+＝22， 所以b ＝π43cos ∙∙a b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙-22222＝1，因此22y x +＝1. ② 联立①、②，解得⎩⎨⎧=-=0,1y x 或⎩⎨⎧-==1,0y x .所以b ＝（－1，0）或b ＝（0，－1）.（2）根据题意，得B ＝3π，A+C ＝32π，由于t ＝（1，0）且b ⊥t ，故b ＝（0，－1），b +c ＝（A cos ，C cos ），2c b +＝A 2cos +C 2cos＝1+)2cos 2(cos 21C A ++1+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+A A π322cos 2cos 21＝1+)32cos(21π+A ， 因为0＜A ＜32π，所以3π＜2A+3π＜35π，－1≤)32cos(π+A ＜21， 因此，2c b +⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈45,21，c b +⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈25,22. [答案]（1） b ＝（－1，0）或b ＝（0，－1）；（2）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡25,22 4、[分析]利用向量把问题转化为求向量OP 的最值。