高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1. 换元法：即用中间变量匚!表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

x例 1 ：已知f ( ) =2x • 1,求f (x).x 1解：设—u,贝V x — f (u) = 2 —■ 1 = --------------- 二f (x)= --------x+1 1-^ 1-u 1-u 1-x2. 凑合法：在已知f(g(x)) =h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f (x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。

1 3 1例2:已知f (x ) = x 3 ,求f (x)x x1 1 1 11 1 1解：••• f (x ) =(x )(x2-1 2)= (x )((x )2-3)又••• |x —|=|x| —- 1x x x x x x | x|2 3f(x) =x(x -3) =x -3x, (| x | > 1)3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3.已知f (x)二次实函数，且f(x ・1) • f(x-1) =X2+2X+4,求f(x).解：设f (x) = ax2 bx c，则f (x 1) f (x「1) = a(x 1)2 b(x 1) c a(x「1)2 b(x「1) c l2(a c) =42 2 1 3= 2ax 2bx 2(a c) =x 2x 4 比较系数得2a =1 =a ,b=1,c2 2 2b =21 2 丄3f (x) = 一X x -2 24. 利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式•例4.已知y = f (x)为奇函数，当x>0时，f (x) = lg(x • 1),求f (x)解：••• f (x)为奇函数，••• f (x)的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式。

••• - x>0, •••f (-x) =lg( -X 1) =lg(1 _x),f (x)为奇函数，••• lg(1 一 x) = f (_x) - - f (x) •••当 x <0 时 f (x) - _ lg(1 - x) /.pg(1+x),xzO f (x)二I —lg(1—x),X£O1例5.—已知f (x)为偶函数,g(x)为奇函数，且有f (x) + g(x),求f(x),g(x).X —1 解：T f (x)为偶函数，g(x)为奇函数，• f (_x) = f (x), g(_x) - -g(x),1不妨用-x 代换f(x) + g(x)= ------------x —1 1二 f (-x) g(-x) 即 f (x) - g(x) 口_x _1x再代入①求出g(x)二再二 -1 x -1例6 :设f(x)的定义域为自然数集，且满足条件 f(x T)二f (x) • f (y) xy ,及f (1)=1,求f(x)解：••• f (x)的定义域为N,取y =1,则有f (x T) = f (x) x 1 •/ f(1)=1, • f (2) = f(1)+2, f (3) = f(2)3 ……f(n) = f (n —1) n 以上各式相加，有 f(n)=1+2+3+……+ n =凹 耳••• f(x)=[x(x 1),x N 2 2二、禾U 用函数性质，解 f(x)的有关问题 1. 判断函数的奇偶性：例7已知f(x y) f (^y^2f (x)f (y),对一切实数x 、y 都成立，且f(0) = 0,求证f(x)为偶 函数。

证明：令x =0,则已知等式变为f (y)f (-y) =2f (0) f (y)............. ①在①中令 y =0 则 2 f (0) =2 f (0) •/ f (0)丰 0「. f (0) =1 • f(y) f ( - y) = 2f (y) /. f ^yH f (y) • f (x)为偶函数。

2. 确定参数的取值范围例&奇函数f (x)在定义域(-1，1)内递减，求满足f (1 - m) • f (1 - m 2) ：：： 0的实数m 的取值范围。

2 2 2解：由 f (1 - m) f (1 - m ) ：： 0 得 f (1 - m) ：： - f (1 - m )，T f (x)为函数，• f (1 - m) ：： f (m -1)一1 v 1 - m £ 1又T f (x)在(-1，1)内递减，•-1 ：： m 2 -1 1- 0 ：： m 1 21 - m m -13. 解不定式的有关题目①中的x , 显见①+②即可消去g(x),求出函数f(x)二5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f (x)的表达式例9 :如果f(x) = ax2 bx c对任意的t有f (2 • t)二f2 -t),比较f (1、f (2)、f⑷的大小解：对任意t有f (2 • t) = f 2 —t) ••• x =2为抛物线y =ax2• bx • c的对称轴又•••其开口向上•••f (2)最小，f (1)= f(3) T在］2,+^ )上，f (x)为增函数• f (3)< f (4), • f (2)< f (1)< f (4)五类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。

例1、已知函数f (x)对任意实数x, y,均有f (x+ y)= f (x) + f (y),且当x> 0时，f (x)> 0, f (- 1)=- 2,求f (x)在区间［—2, 1］上的值域。

分析：由题设可知，函数f (x)是'■■■■ ■■ 1:的抽象函数，因此求函数f (X)的值域，关键在于研究它的单调性。

解：设孟I <比.则心-石> 0 .•当孟>0时"/(兀)》0 心-孟］)> 0 ,・ ?― 一；，即>「("：，••• f(X)为增函数。

在条件中，令y=—X,则「宀；•"」•：•，再令x= y = 0,则f (0)= 2 f (0 ),• f (0)= 0, 故f (—x)= f (x), f (x)为奇函数，• f (1)=—f (—1)= 2,又f (—2)= 2 f (—1 )=—4,•- f (x)的值域为［—4, 2］o例2、已知函数f (x)对任意……匸二，满足条件f (x)+ f ( y)= 2 + f (x + y)，且当x> 0时，f(x)> 2, f (3)= 5，求不等式?- ’ 的解。

分析：由题设条件可猜测：f (x)是y = x+ 2的抽象函数，且f (x)为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。

解：设*.：；,•.•当孟>0时』㈤>2,.. /(比-和》2,则jg - /［(^a -XjJ + xJ - -盂J +-2 > 2 + 3閒-2-/(帀)即*八'I , • f (X)为单调增函数。

•/©- /(2 + 1)-/®+ /(I) - 2 = ［/(I) + /Q)- 2］ + /(I) - 2 = 3/(1)-4又• f (3)= 5,. f (1) = 3。

. ；- f - ■- - J即「丄 -■- ，解得不等式的解为一1 < a < 3。

即- -■ ■■ , • f (幻是(0,+8) 上的增函数，故2、指数函数型抽象函数例3、设函数f (x )的定义域是(— 8,+^)，满足条件：存在 匚二J ,使得1 •匸-二:，对任何x 和y ， J 门■ ；=「工：成立。

求： (1)f (0)； (2)对任意值x ，判断f (x )值的正负。

分析：由题设可猜测 f (x )是指数函数； ，的抽象函数，从而猜想 f ( 0)= 1且f (x )> 0。

解：( i )令 y =0 代入，则"mu■■■'' - - ''o 若f (x )= o ,则对任意■'=±:，有rm 」，这与题设矛盾，• f ( x )工 0,.・.f (0)= 1 o (2)令 y = X M 0 ,^「5’ ： I 「： I .•；-； 1"，又由(1)知 f(x )工 0,.・.f (2x )> 0,即f (x )> 0,故对任意x , f (x ) > 0恒成立。

例4、是否存在函数f (x )，使下列三个条件：①f ( x ) > 0, x € N;②•「7 -!- -■③f ( 2)= 4。

同时成立？若存在，求出 f (x )的解析式，如不存在，说明理由。

分析：由题设可猜想存在 「，又由f (2 )= 4可得a = 2 •故猜测存在函数：：，'，用数学归纳法证明如下：(1) x = 1 时，门一，又••• x € N 时，f(x )> 0, 一 ：\结论正确。

(2) 假设工乩二丄时有:，则x = k + 1时,—「一…’ • x = k + 1时，结论正确。

综上所述，x 为一切自然数时」’’^ '。

3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。

例5、设f (x )是定义在(0,+8)上的单调增函数，满足 ''-'J1 ,求：(1) f (1)；(2) 若f ( x ) + f (x — 8) < 2,求x 的取值范围。

分析：由题设可猜测 f (x )是对数函数的抽象函数，f (1)= 0, f (9)= 2o解:• ,(2)/⑵= /(3x3) = / (3) + /(3) = 2，从而有 f (x )+ f ( x — 8)w f (9),[x(z-85 < 9 x > 0严一结> ° ，解之得：8v x w 9。

例 6、设函数 y = f (x )的反函数是 y = g (x )。

如果 f (ab ) = f (a ) + f (b ),那么 g (a + b )= g (a ) - g (b )是否正确，试说明理由。

分析：由题设条件可猜测 y = f (x )是对数函数的抽象函数，又••• y = f (x )的反函数是y = g (x ),.•• y =g (x )必为指数函数的抽象函数，于是猜想g (a + b )= g (a )・g ( b )正确。