高二数学（上）期末考一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 不等式0322<--x x 的解集是（ ）A ．()1,3-B ．()3,1-C ．()3,-∞-Y ()+∞,1D ．()1,-∞-Y ()+∞,32. 已知平面α的法向量是()2,3,1-，平面β的法向量是()4,,2λ-，若//αβ，则λ的值是（ ） A ．103-B ．6-C ．6D ．1033．已知, , a b c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中一定成立的是( ) A. ab ac > B. ()0c b a -< C. 22cb ab < D. ()0ac a c ->4. 已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和．若13a =，24144a a =，则10S 的值是( ) A ．511 B ．1023 C ．1533 D ．30695. 下列有关命题的说法正确的是( ) A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”． D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题6. 设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且02190=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ） A.1 B.25C.2D.57. 已知向量)0,1,1(=→a ，)2,0,1(-=→b ，且→→+b a k 与→→-b a 2互相垂直，则k 的值是（ ） A. 1 B.51 C. 53 D. 57 8. 若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且060C =，则a b +的最小值为( )A ．3 B ． 3C ．43D ．8-9．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过F 且倾斜角为︒60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．[]2,1B ．()2,1C ．()+∞,2D ． [)+∞,210.若抛物线24y x =的焦点是F ,准线是l ,则经过点F 、M （4，4）且与l 相切的圆共有（ ）． A.4个 B.2个 C.1个 D.0个二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.11．等差数列{}n a 中，若34512,a a a ++=则71a a += .12. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则z x y =+的最小值是 .13. 已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 为11D C 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 . 14. 点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值是 . 15．设{}n a 是公比为q 的等比数列，其前n 项积为n T ，并满足条件011,01,110099100991<-->->a a a a a ，给出下列结论：（1）10<<q ； （2）1198<T ；（3）110199<a a ；（4）使1<n T 成立的最小自然数n 等于199，其中正确的编号为 （写出所有正确的编号） 三、解答题:本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分13分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，⑴求12,a a 的值；⑵求数列{}n a 的通项公式。

17．（本小题满分13分）已知0,1a a >≠，命题:p “函数xa x f =)(在(0,)+∞上单调递减”，命题:q “关于x 的不等式21204x ax -+≥对一切的x R ∈恒成立”，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数a 的取值范围. 18．（本小题满分13分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cab b ac a -=++， （1）求角B 的大小；（2）若ABC △最大边的边长为7，且A C sin 2sin =，求最小边长．19．（本小题满分13分）运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．20．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥ 底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PD=DC ，E 、F 分别为AB 、PB 的中点。

（1）求证：EF ⊥ CD ；（2）求DB 与平面DEF 所成角的正弦值；（3）在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥ 平面PCB ，并证明你的结论。

21．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别是 F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT （1）设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1；（2）求点T 的轨迹C 的方程；（3）试问：在点T 的轨迹上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2 的正切值；若不存在，请说明理由.PFD CA E B高二（上）期末联考数学试卷参考答案（理科）一、选择题1—5、BCADD 6—10、ADBDB 二、填空题11、8 12、3 13、3214、2 15、（1）（3）（4） 三、解答题16、2n S =+n 解:由已知得2a --------① ------------2分由①得：122S =+⇒=112a a --------------4分2224S =+=++⇒=21222a a a a ------------6分(2)解：12n S +=+n+12a -------②②-①得12n n S S +-=-=∴=n+1n n+1n+1n2a 2a a a a ------------9分∴数列}{n a 以2为首项，以2为公比的等比数列------------11分即1222n n-=⋅=n a ------------13分17、解：p 为真：01a <<；……2分；q 为真：0142≤-=∆a ，得2121≤≤-a ，又0,1a a >≠，210≤<∴a (5)分因为p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，所以,p q 命题一真一假……7分（1）当p 真q 假1212110<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧><<a a a ……………9分（2）当p 假q 真⎪⎩⎪⎨⎧≤<>2101a a 无解 …………11分综上，a 的取值范围是1(,1)2…………………13分18、解：（Ⅰ）由ca b b a c a -=++整理得))(()(b a a b c c a +-=+，即222a b c ac -=+，------2分 ∴2122cos 222-=-=-+=ac ac ac b c a B ， ∵π<<B 0，∴32π=B 。

（Ⅱ）∵32π=B ,∴最长边为b ，∵A C sin 2sin =，∴a c 2=， ∴a 为最小边，由余弦定理得)21(2247222-⋅⋅-+=a a a a ，解得12=a ， ∴1=a ，即最小边长为119、解：(1)行车所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝2340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2340x ＝1318x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．20、Q PD ⊥面ABCD , ∴,PD DA PD DC ⊥⊥，又Q 底面ABCD 是正方形，∴DA DC ⊥(0,0,0)000000022200.222DA DC DP x y z AD a a a aD A a B a a C aE aF a a a F P a =以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则、（，，）、（，，）、（，，）、（，，）、（，，）（，，）、（，，）PF D C10000.22a aEF DC a EF DC ⋅=-⋅=∴⊥r r （）（，，）（，，），(,,).(,,)(,,)0,()0.022220(,,)(,,0)0,0.221,2,1,(1,2,1).cos ,6DEF n x y z a a a a x y z x y z n DF a a n DE x y z a ax y BD n x y z n BD n BD n DB DEF =⎧⎧⋅=++=⎪⎪⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎨⋅=⎪⎪⎪⎩⋅=+=⎪⎪⎩⎩⋅==-=∴=-<>===∴rr r rr r rr rr r r （2）设平面的法向量为由，得取则与平面所成角的正弦20.,,,222,,(,0,0)()0,;22222,,(0,,)()0,0.2222200.2a a aG x z G PAD FG x z a a a a a FG CB x z a a x x a a a a aFG CP x z a a a z z aG G AD ∈=---⋅=---⋅=-==⋅=---⋅-=+-==∴r r r r r （3）设（，，），则平面。

（）（）（）点坐标为（，，），即点为的中点 解法二、(1)证明：Q PD ⊥面ABCD ∴PD CD ⊥，又Q ABCD 是正方形∴AD CD ⊥ Q PD AD D =I ∴CD ⊥面PAD ∴CD PA ⊥Q E 、F 分别为AB 、PB 的中点∴EF PA P ，故CD EF ⊥AD OE EB AE OE FO O BD //.∴=，、，连结的中点（证法二）取Θ.//.PD FO FB FP CD OE CD AD ∴=⊥∴⊥，，又ΘΘPD ABCD FO ABCD ⊥∴⊥∴Q 底面，底面，FO CD ⊥Q OE OF O =I ∴CD ⊥面OEF Q EF ⊂面OEF ∴CD EF ⊥211..3311124221.2B DEF F DEB DEF DEBDEBB DEF d d FO a FO a a EF AP DF PB DE V V S S S --∆∆∆=∴⋅=⋅========Q （2）设到平面的距离为，设底面边长为，则，，，， .6363sin .6121418686.90454342222222222所成角的正弦值为与平面，，则所成角与平面设，，DEF DB DB d DEF DB a d a a d a a DEF DE a a a DF EF S DEF o ∴===⇒⋅=⋅∴=∴=∠∴==+=+∆θθΘ .G AD （3）答：是的中点.PC H DH PD DC DH PC =∴⊥Q （方法一）取的中点，连结，.BC PDC BC DH DH PCB ⊥∴⊥∴⊥Q 又平面，，平面1.////2DA G GF FH HF BC DG DGFH ∴Q 取中点，连结、，四边形为平行四边形 //.DH GF GF PCB ∴∴⊥，平面.....AD G PG GB GF PGD BGA PG GB F PB GF PB GO FO ABCD OG AD FG AD FG BCFG PBC ∆≅∆∴=∴⊥⊥⊥∴⊥∴⊥∴⊥Q Q Q （方法二）取中点，连结、、，又为中点，连结底面，，，平面21、解：（1）证法一：设点P 的坐标为).,(y x 由P ),(y x 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x aca P F +=………………………3分 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r F r F ==则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x aca r F cx r r a r r +===-=+得 （2）解法一：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF 且时，由0||||2=⋅TF ，得2TF ⊥.又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a Q F OT ==||21||1，所以有.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ 解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF 且时，由02=⋅TF ，得2TF ⊥.又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ②将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分（3）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时，),(),,(002001y x c MF y x c --=---=，由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x 于是，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,， 由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 212121=+-=∠k k k k MF F …………14分③ ④③ ④。