Sx

Rx

e j d
Rx

Sx

e j d
随机信号的功率谱密度
▪ 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)的性质 ➢ 自功率谱密度函数是实偶函数。 ➢ 自功率谱密度函数是双边谱。

xy



arctan
Qxy Cxy


随机信号的功率谱密度
▪ 互谱分析的估计
▪ 离散点

S k xy
1 N
X
k iY k i

S k xy
1 N
X k iY k i
▪ 对应于数字信号

Sxy fi
1 T
X
fi Y
▪
X(t)
系统1
系统2
y(t)
n1 t
n t 2
n3 t
随机信号的功率谱密度 正弦加随机
随机信号
随机信号的功率谱密度
yt x't n1' t n2 ' t n3' t
输入x(t)与输出y(t)的互相关函数(crosscorrelation function )为：
fi

Sxy fi
1 T
X

fi
Y
fi
随机信号的功率谱密度
▪ 工程应用
▪ 可利用互谱求系统的 H f H f f
Hf

Yf Xf

Y f X f X f X f

Sxy f Sxf
▪ 可在强噪声背景下分析系统的传输特性
H
f

Байду номын сангаас
Yf Xf

H f 2 H f H f

Y f Y f Xf Xf
Y f 2 X f 2

Sy f Sx f
▪ 测量中经常用这个公式计算频率响应函数 (frequency response function)的幅值，但无 法计算它的相位、实部和虚部。
随机信号的功率谱密度
▪ 设x(t)是零均值的随机信号，且x(t)中无周期性分
量，其自相关函数 Rx 0 ，自相关函数满足
富立叶变换条件


Rx


d

0
▪ 工程中对信号进行隔直
Rxx ( )
处理，使 x 0。
▪ 对于含有周期成分的信
号，用窗函数(window function)截断，使

e j d
▪ 单边互谱密度函数(One-sided cross-power
spectrum )
Gxy


2 R xy

e j d
0
随机信号的功率谱密度
▪ 单边互谱密度函数(One-sided cross-power spectrum)
Sx f
T x2
T
lim
T
t dt
1X 2T

1
lim
T 2T
2
f
X f 2 df
随机信号的功率谱密度
▪ 功率谱估计

Sx

f


1 T
Xf 2

Sx k
1 N
X k 2
其中k 0,1,2 N 1
单边谱

Gx
f

2 N
随机信号的功率谱密度
▪ 互功率谱密度函数(cross-power spectral
density function)定义

Rxy


d


➢ 如果互相关函数满足福氏变换条件
Sxy



R xy

e j d
Rxy



1
2

S xy
▪ 第四章 功率谱分析
随机信号的功率谱密度
▪ 随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件， 因此不能直接进行傅里叶变换。又因为随机信号 的频率、幅值、相位都是随机的，因此从理论上 讲，一般不作幅值谱和相位谱分析，而是用具有 统计特性的功率谱密度(power spectral density) 来作谱分析。
T 0
x
t

x
t

0
dt

2 x

Rxx 0 S xx
f
e j2 f 0df


S xx
f
df
Rxx
0


2 x


S xx f df
随机信号的功率谱密度
▪ Parseral定理 ➢ 信号的能量在时域与频域是相等的。
x2 t dt X f 2 df
➢ 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)
➢ 互功率谱密度函数(cross-power spectral density function)
➢ 相干函数(coherence function)与频率响应函 数(frequency response function)
➢ 评测输入、输出信号间的因果性，即输出信号 的功率谱中有多少是所测试输入量引起的响应。

2 xy



Gxy 2 Gx Gy

随机信号的功率谱密度
▪ 频率响应函数(frequency response function)
的定义
H



Gxy Gx

▪ 谱相干函数的性质
Rxy Rx'x Rx'n1 Rx'n2 Rx'n3
由于噪音与输入无关，所以后3项为零，于是有
Rxy Rx'x
H
f


Sxy f Sx f


Sxx' f Sxf
随机信号的功率谱密度
▪ 谱相干函数(spectral coherence function)的定 义


▪ 自功率谱密度函数(Auto-power spectral
density function)与幅值谱(amplitude
spRexxct0rumTl)im的 2关1T系TT x2 t dt

Sx

f
df
Rxx

0
lim 1 T 2T
x 2

得 。
Rxx ( )
RxT xT ( )
随机信号的功率谱密度
▪ 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)定义
➢ 根据维纳—辛钦公式，平稳随机过程的功率谱 密度与自相关函数是一傅里叶变换偶对 (fourier transform dual pair)
➢

2 xy



1
y(t)和x(t)完全相关
➢

2 xy



0
y(t)和x(t)完全无关
➢
1


2 xy



0
y(t)和x(t)部分相关
测试中有外界干扰
输出y(t)是输入x(t)和其它输入的综合输出
联系x(t)与y(t)的系统是非线性(nonlinear)的
随机信号的功率谱密度
▪ 单边功率谱(one-sided power spectrum)（非 负频率上的谱）
Gx 2Sx

2 Rx

e j d
0
随机信号的功率谱密度
▪ 物理意义 ➢ 信号的能量在不同频率成分上的分布。
Rxx

0


lim
T
1 T
油压脉动自谱
船用柴油机润 滑油泵压油管 振动和压力脉 动间的相干分 析
油管振动自谱
Gxy Cxy jQxy
▪
其中 ➢ 实部 ➢ 虚部
Cxy


2

R xy
cos d
Qxy
2

R xy
sin d
Gxy Gxy e jxy
Gxy Cxy 2 Qxy 2
X k 2
计算方法
xt
FFT
xn
模平方
X k
X
k 2
平均

1
X k 2
N

S
x
k

IFFT

Rx
r

随机信号的功率谱密度 ▪ 工程应用
➢ 1）功率谱在设备诊断中的应用
①汽车变速箱上加速度 信号的功率谱图
正常 异常
随机信号的功率谱密度
▪ 可分析系统的 H f