小专题(七) 与圆的切线有关的计算与证明
1．如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD.取BC的中点E，连接ED，求证：ED与⊙O相切．
证明：连接OD.
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠BDO.
∵AB是直径(已知)，
∴∠ADB＝90°.
∴∠ADB＝∠BDC＝90°.
在Rt△BDC中，E是BC的中点，
∴BE＝CE＝DE.∴∠DBE＝∠BDE.
又∵∠ABC＝∠OBD＋∠DBE＝90°，
∴∠ODE＝∠BDO＋∠BDE＝90°.
∵OD是⊙O的半径，
∴ED与⊙O相切．
2．如图，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E.
(1)判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；
(2)若CE＝2，求⊙O的半径r.
解：(1)⊙O与BC相切．
理由：连接OD，OB，
∵⊙O与CD相切于点D，
∴OD⊥CD，∠ODC＝90°.
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AD ＝CD ＝CB.
∵OD ＝OB ，OC ＝OC ，CB ＝CD.
∴△OBC ≌△ODC.∴∠OBC ＝∠ODC ＝90°.
又∵OB 为半径，∴⊙O 与BC 相切．
(2)∵AD ＝CD ，∴∠ACD ＝∠CAD.
∵AO ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA.
∵∠COD ＝∠OAD ＋∠ADO ，
∴∠COD ＝2∠ACD.
又∵∠COD ＋∠ACD ＝90°，
∴∠ACD ＝30°.∴OD ＝12
OC ， 即r ＝12
(r ＋2)． ∴r ＝2.
3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，且AB ＝12，AP 是半圆的切线，点C 是半圆上的一动点(不与点A ，B 重合)，过点C 作CD ⊥AP 于点D ，记∠COA ＝α.
(1)当α＝60°时，求CD 的长；
(2)当α为何值时，CD 与⊙O 相切？说明理由．
解：(1)过点C 作CE ⊥AB 于点E.
在Rt △OCE 中，
OE ＝OC ·cos ∠COA
＝12
×6＝3， 则CD ＝OA －OE ＝6－3＝3.
(2)当∠α＝90°时，CD 与⊙O 相切．
理由：∠α＝90°，则在四边形OCDA 中，
∠COA ＝∠OAD ＝∠CDA ＝90°，
∴∠OCD ＝90°.
∴OC ⊥CD.
又∵OC 是⊙O 的半径，
∴CD 是⊙O 的切线．
4．(2018·宿迁)如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD ⊥AC 于点D.过点A 作⊙O 的切线与OD 的延长线交于点P ，PC ，AB 的延长线交于点F.
(1)求证：PC 是半圆O 的切线；
(2)若∠ABC ＝60°，AB ＝10，求线段BF 的长．
解：(1)证明：连接OC.
∵OD ⊥AC ，OD 经过圆心O ，
∴AD ＝CD.∴PA ＝PC.
在△OAP 和△OCP 中，
⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ， PA ＝PC ，OP ＝OP ，
∴△OAP ≌△OCP(SSS)．
∴∠OAP ＝∠OCP.
∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝90°.
∴∠OCP ＝90°，即OC ⊥PC.
又∵OC 是⊙O 的半径，
∴PC 是⊙O 的切线．
(2)∵OB ＝OC ，∠OBC ＝60°，
∴△OBC 是等边三角形．
∴∠COB ＝60°.
∵AB ＝10，∴OC ＝5.
由(1)知，∠OCF ＝90°，
∴CF ＝OC ·tan ∠COB ＝5 3.
5．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，OF ∥BC 交AC 于点E ，交PC 于点F ，连接AF.
(1)判断AF 与⊙O 的位置关系并说明理由；
(2)若AC ＝24，AF ＝15，求⊙O 的半径．
解：(1)AF 与⊙O 相切．理由如下：
连接OC ，
∵PC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥PC.
∴∠OCF ＝90°.
∵OF ∥BC ，
∴∠B ＝∠AOF ，∠OCB ＝∠COF.
∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OCB.
∴∠AOF ＝∠COF.
在△OAF 和△OCF 中，
⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ，∠AOF ＝∠COF ，OF ＝OF ，
∴△OAF ≌△OCF(SAS)．
∴∠OAF ＝∠OCF ＝90°.
又∵OA 是⊙O 的半径，
∴AF 与⊙O 相切．
(2)∵△OAF ≌△OCF ，∴∠AOE ＝∠COE.
∴OE ⊥AC ，AE ＝12
AC ＝12. ∴EF ＝152－122
＝9.
∵∠OAF ＝90°，∴△OAE ∽△AFE. ∴OA AF ＝AE FE ，即OA 15＝129
， ∴OA ＝20，即⊙O 的半径为20.
6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF.
(1)求∠CDE 的度数；
(2)求证：DF 是⊙O 的切线；
(3)若AC ＝25DE ，求tan ∠ABD 的值．
解：(1)∵AC 为⊙O 的直径，
∴∠ADC ＝90°.
∴∠CDE ＝90°.
(2)证明：连接OD.
∵∠CDE ＝90°，F 为CE 中点，
∴DF ＝12
CE ＝CF. ∴∠FDC ＝∠FCD.
又∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠OCD.
∴∠ODC ＋∠FDC ＝∠OCD ＋∠FCD.
∴∠ODF ＝∠OCF.
∵EC ⊥AC ，∴∠OCF ＝90°.
∴∠ODF ＝90°.
∵DO 是⊙O 的半径，
∴DF 为⊙O 切线．
(3)在△ACD 与△ACE 中，∠ADC ＝∠ACE ＝90°，∠EAC ＝∠CAD ，∴△ACD ∽△AEC.
∴AC AE ＝AD AC
.∴AC 2＝AD ·AE. 又AC ＝25DE ，∴20DE 2＝(AE －DE)·AE.
∴(AE －5DE)(AE ＋4DE)＝0.
∴AE ＝5DE ，AD ＝4DE.
在Rt △ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2
，∴CD ＝2DE.
又∵∠ABD ＝∠ACD ，
∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝AD CD
＝2.
7．如图，已知以Rt △ABC 的边AC 为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF.
(1)求证：EF 是⊙O 的切线；
(2)若⊙O 的半径为3，∠EAC ＝60°，求AD 的长．
解：(1)证明：连接FO ，易证OF ∥AB.
∵AC 为⊙O 的直径，
∴CE ⊥AE.
∵OF ∥AB ，
∴OF ⊥CE.
∵OE ＝OC ，
∴OF 所在直线垂直平分CE.
∴FC ＝FE.
∴∠FEC ＝∠FCE ，∠OEC ＝∠OCE.
∵∠ACB ＝90°，
∴∠OCE ＋∠FCE ＝90°.
∴∠OEC ＋∠FEC ＝90°，即∠FEO ＝90°.
又∵OE 是⊙O 的半径，
∴FE 为⊙O 的切线．
(2)∵⊙O的半径为3，∴AO＝CO＝EO＝3.
∵∠EAC＝60°，OA＝OE，∴∠EOA＝60°.
∴∠COD＝∠EOA＝60°.
∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，
∴CD＝3 3.
∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，CD＝33，AC＝6，∴AD＝AC2＋CD2＝37.。