= 2k• 1• 3•…•(2k-1)(2k+1)•2 = 2k+1•1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边， ∴当n=k+1时等式也成立。 由 ①、②可知，对一切n∈N ,原等式均成立。
作业:P108
A组 1(2)
B组 3
n-1
例、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2

（n∈N ）.

证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。 ②假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即： 1+3+5+……+(2k-1)=k2， 当n=k+1时： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2， 所以当n=k+1时等式也成立。 由①和②可知，对n∈N ，原等式都成立。
思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒 下的条件是什么？
只要满足以下两个条件，所有多米诺骨 牌就能全部倒下：
（1）第一块骨牌倒下；（基础） （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下 一定导致后一块倒下。 （依据） 条件（2）事实上给出了一个递推关系：当 第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。 1 思考：你认为证明数列的通项公式 an n 是 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你 能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
归纳法
｛ 不完全归纳法
一般 an=a1+(n-1)d
完全归纳法
特点: 由特殊 a2=a1+d a3=a1+2d a4=a1+3d
……
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2
(n∈N*)
费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学 n 2 家，他曾认为，当n∈N时，2 一定都是 1 质数，这是他观察当n＝0，1，2，3，4时 的值都是质数，提出猜想得到的．半个世 纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉 5 2 （Euler）发现 2 ＝ 294 967 297＝ 4 1 6700417×641，从而否定了费马的推 测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
练习：已知数列{a n }为等比数列， 公比为q,求证:通项公式为a n = a1q （提示：a n = qa n-1）
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0 (2)(归纳递推)是递推的依据 n＝ k时 命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 定理等加以证明
2.3 数学归纳法
2.3 数学归纳法
课题引入
观察数列 {a n },已知a1 1, a n1 1 1 1 a2 , a3 , a , 4 2 3 4
an , 1 an
1 猜想归纳通项公式 : an n
不完全归 纳法
对于某类事物，由它的一些特殊事 例或其全部可能情况，归纳出一般 结论的推理方法，叫归纳法。
2 2 2 2
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0 (2)(归纳递推)是递推的依据 n＝ k时 命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 定理等加以证明
例、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)

请问： 第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：
1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)

= （k +1)[1+ (2k +1)] = (k+1)2 ?为什么？
2
例:用数学归纳法证明
n(n +1)(2n +1) 1 + 2 + 3 + + n = 6
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等 式成立。 ② 假设当n=k((k∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
（2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)• k+1
命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。
例：已知数列{a n }为等差，公差为d,
求证:通项公式为a n = a1 +(n -1)d 证明：
1）当n = 1式，a1 = a1 +(1 -1)d = a 1 ,结论成立
பைடு நூலகம்
2)假设n = k式结论成立，即a k = a 1 +(k -1)d ∵a k+1 = a k + d 那么 ∴ a k+1 = a1 +(k -1)d + d = a1 + kd = a1 +[(k +1)-1]d 所以n=k+1时结论也成立 综合1）、2）知a n = a1 +(n -1)d成立.
举例说明：
一个数列的通项公式是： an= (n2－5n+5)2 请算出a1= 1，a2= 1，a3= 1 ，a4= 1 猜测an＝? 猜测是否正确呢？
对一切n N ，都有an (n 5n 5) 1
2 2

由于a5＝25 ≠1，所以猜测是不正确的
所以由归纳法得到的结论不一定可靠
多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨 制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌 按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨 牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次 倒下。 多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。 一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要 一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志 力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。 多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。
观察数列 {a n },已知a1 1, a n1
an , 1 an
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法 来证明它们的正确性: (1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。 验证n=n0时命 题成立 若当n=k(kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立