中考高分冲刺－冲刺一 数与式的三项要点 ■ 1第一编 核心知识的再提升⏹ 任何教学问题的解决都必以核心知识为基础。

⏹ 对知识的掌握是有层次高低之别的，只有上升到“原理”层次的知识掌握，才能和心应手发挥作用。

关节一数与式的三项要点“数与式”是初中数学的核心内容之一，不公在各中考试卷中占有相当比重，更重要的是它的作用体现与融合在诸多知识运用之中，其中三项要点，尤望同学们掌握与用好。

要点一、准确与灵活是“运算”之魂； 要点二、深入把握“教”、“式”的性质；要点三、善于将情景中的数量或数量关系抽象为代数式；一、准确与灵活是“运算”之魂1、 灵活运用运算法则，运算律和运算性质对以个几道中考试题，我们给出新的解法，请同学们感悟“灵活”的意义和作用。

例1化简：()y x y x x y x x +÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-221 解：原式)......12(21yx y x y x x y x x ++-+⋅+-=（先把除法转换成乘法，再用分配律乘入括号内） 112121=+-=xx2 ■ 中考数学高分的十八个关节例2计算：⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⋅++2422122a a a a a a 解：原式)......4(21)2(12--⋅++=a a a a a （先从括号内提出“公因式21-a ”而后约分）a11+=例3已知x 是一元二次方程0132=-+x x 的实数根，求代数式)252(6332--+÷--x x xx x 的值。

解：原式)......9(332-÷-=x xx （除式和被除式同乘以)2-x )13......(31)3(3122=+=+=x x x x 因为以上三题是中考题，也都是较容易的题，从每一道题的解法可以看出：越是能适时而恰当运用“运算律”，“公式”“性质”等，则越可使运算步骤减少，过程简化。

所以，越是善于将算法、算律、公式、性质联合运用，越能提高运算的准确性和过程的简约性。

2、善于把“非标准”算式转化为“标准”算式中考试题中不少数、式运算问题以“非标准”形式给出，解决的基本过程是先将其转化为“标准”算式，然后计算。

而这个“转化”就提高了对灵活性和准确性的要求。

例4在实数的原有运算法则基础上我们又定义运算“⊕”如下：当a b ，a b a b b ，a b a =⊕<=⊕≥时当时;2.则当2=x 时，)3()1(x x x ⊕-⋅⊕的值为 （“.”和“一”仍为实数运算中的乘号和减号） [ 观察与思考]根据对新运算⊕的规定，当2=x 时有2221)23(2)21()3()1(2-=-⋅=⊕-⋅⊕=⊕-⋅⊕+x x x 解：-2可以看出，不管新运算规定得多么新奇，它总是通过 原有的运算来表达的。

因此，解这类问题的基本过程是：先按新运算的规定转化成原来的运算，再按原来的运算计算出结果。

这“两步走”检验着我们是否很好地理解和 掌握了“算法”的意义 例5 按下列程序计算，把答案写在表格内：n 平方n + n ÷ n -答案（1）填写答案：(2)请将题中计算程序用代数式表达出来,并给予化简.[观察与思考]经过审题之后,我们会发现,可以先解答第(2)问,因为将相应代数式得出化简之后,就使(1)变成已熟悉的代数式求值问题了.解: (1)在输出答案的各栏中均填1.(2)对应的代数式应为:n nnn -+2,化简后为1. 例6如图1------1,D,E分别是ABC ∆的边BC和AB上的点,，ACD ABD 的周长相等与∆∆CBE CAE ∆∆与的周长相等,设.,,c AB b AB a BC === (1) 求AE 和BD 的长;(2) 若BD AF ：S S ，ABC BAC ⋅=∆︒=∆求证的面积为,90[观察与思考]本题表面上是图形形问题,但实质是式的运算.解: (1)c AB b AC a ，BC ACD ABD ===∆∆,,的周长相等与Θ2c b a CD AC BD AB ++=+=+∴; 22cb ac c b a BD -+=-++=∴同理2cb a AE +-=. (2).21,,90222bc S c b a BAC =+=∴︒=∠Θ由(1)知 4)(2222c b a c b a c b a BD AE --=-+⨯+-=⋅ bc bc c b a 21)2(41222=+--=. 即BD AE S ⋅=.由以上几例可以看出:数与式的运算能力,更体现于把”非标准”算式转化为”标准”算式,这就要求我们对运算的意义和作用,有更深刻的认识二、深入把握“数”、“式”的性质1、 用活数的构成和表示例1 计算：,......3112,1512,712,312,11254321=-=-=-=-=-归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测122008-的个位数是 （ ）A 、1B 、3C 、 7D 、5ABDEC[观察与思考] 这实际是考查）n n为正整数(2的个位数的出现规律，因为有：12的个位数是2；22的个位数是4；32的个位数字是8；42的个位数字是16；52的个位数字是2，……可见，r m n +=422 （其中m 是非负整数且41≤≤r ）时，n 2的个位数字与r 2的个位数字是一样的。

现在45014200822+⨯=，即20082的个位数字等于42的个位数字，即6，当然122008-的个位数字就是5。

解：选D【说明】 本题的解答是以对n2 的个位数字及循环情况分类认识与把握为基础的。

例2 如果一个数等于它的不包括自身的所有因数之和，那么这个数就叫完全数。

例如，6的不包括自身的所有因数为1，2，3.而且6=1+2+3，所以6是完全数。

大约2200多年前，欧几里德提出：如果)12(21-•-n n 是一个完全数，请你根据这个结论写出6之后的下一个完全数 。

【观察与思考】 设12-n 是质数3，７。

，则312=-n时，712;6)12(2;2212=-=-•=-n n 时，3=n ;.2874)12(2313=⨯=-•-解：28【说明】因数、质数等的概念的掌握和运用是本题获解的基础。

例3： 老师在黑板上写出三个算式：,278315,4879,2835222222⨯=-⨯=-⨯=-王华接着又写了两个具有同样规律的算式：1ΛΛ,228715,1285112222⨯=-⨯=-（1） 请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式； （2） 用文字写出反映上述算式的规律： （3） 证明这个规律的正确性。

【观察与思考】由题目条件提供的5个等式，根据我们对整数性质的掌握，可以知道本题要揭示的就是“任意两个奇数的平方差，都说8的倍数”。

那么，任意两个奇数该如何用式子表示，就是解决本题的基础准备。

解：（1）如......5081525,68172222⨯=-⨯=-等等 （2）规律为：任意两个奇数的平方差都等于8的倍数。

（3）证明：两个奇数可表示为1212++n m 和（其中n m 和都是非负整数），则)1)((4)12()12(22++-=+-+n m n m n m 。

当n m 和同是奇数或偶数时，n m -一定为偶数，所以)(4n m -一定是8的倍数。

当n m 和一奇一偶时，则1++n m 一定为偶数，所以)1(4++n m 一定是8的倍数。

所以，任意两个奇数的平方差都是8的倍数。

【说明】本题的顺利获解是基于这样两点：第一，能从提供的五个等式中归纳概括出规律，而这必须对整数及其性质有深刻的认识；第二，恰当地运用“式子”表示出“任意两个奇数”。

2、 用活“数”、“式”的大小关系例4 估算324+的值（ ）A 、在5和6之间B 、在6和7之间C 、在7和8之间D 、在8和9之间 【观察与思考】本题实际上是考查24在哪两个整数之间，思考过程可以是这样的：83247,5244,252416<+<∴<<∴<<Θ解：应选C 。

【说明】这里的估算依据是正整数间的大小关系经开方运算所导致的实数间的小大关系。

例5 设a 是大于1的实数，a ，312,32++a a 在数轴上对应的点分别标为A ，B ，C ，则A ，B ，C 三点在数轴上自左自右的顺序是（ ）A 、 C ，B ，A B 、 B ，C ，A C 、 A ，B ，CD 、 C ，A ，B【观察与思考】方法一（性质推导法）.2)1(1223,1+>+=+>+=∴>a a a a a a a a Θ∴+>+>=∴,3231233a a a a 数轴上的点自左自右应为B ，C ，A 。

方法二（特数值法）可设3=a ，则A ，B ，C 表示的数为,37,35,3当然有.33735<< 解：应选B 。

【说明】由本题可以看出，数与式的大小问题，都是以实数的大小关系为基础的，所以，掌握实数的大小关系，是非常重要的。

启示：掌握数，式的构成（即用其他需要的方法表示它）和掌握数，式的大小关系（基本不等关系和在此基础上再经运算的不等关系），是进一步研究和运用数与式的重要根据。

三、善于将情景中的数量或数量关系抽象为代数式列式，即将某一情景中蕴含的数量或数量关系，用式表示出来，这是用数学研究该情景问题的基础，也是用式，方程（不等式）、函数解决实际问题的起始步骤，其作用的重要性言而喻，学习好“数与式”，应把善于列式放在第一位。

1、 图示化情景的列式例1五个数字，请你用含其中一个字母的代数式表示e d c b a ,,,,这五个数字和为【观察与思考】选C 最好，因.1,1,8,8+=-=+=-=c d c b c e c a 可知有解：c 5【说明】本题可有多种表示法。

例2 生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26cm ，宽为xcm ，分别回答下列问题： （1）为了保证能折成图④的形状（即将纸条两端均超过点P ），试求x 的取值范围。

（2）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超过点P 的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M 与点A 的距离（用x 表示）【观察与思考】关键是看到叠成的五边形，每边的长都为原纸条的宽。

解：（1）由折纸过程知5260,2650<<∴><x x （2）要图④为轴对称图形，则应x x x AM 23132526-=+-=。

即点cm x A M )2313(-的距离是与点可以看出：图示化情景的列式，要从图示的特征（如例1中每列，每行相邻两数的关系，例2的等边五边形等）出发，再结合要求才容易列出相应的代数式。

2、 文字语言情景的列式对于较为复杂的文字语言情景的列式，可采用“逐步抽象法”。