习题11. 图论诞生于七桥问题。

出生于瑞士的伟大数学家欧拉（Leonhard Euler ，1707—1783）提出并解决了该问题。

七桥问题是这样描述的：一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，图 1.7是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。

请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。

七桥问题属于一笔画问题。

输入：一个起点输出：相同的点1， 一次步行2， 经过七座桥，且每次只经历过一次3， 回到起点该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。

另一类是只有二个奇点的图形。

2．在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减法。

请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法1.r=m-n2.循环直到r=02.1 m=n2.2 n=r2.3 r=m-n3 输出m3．设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。

要求分别给出伪代码和C ++描述。

//采用分治法//对数组先进行快速排序//在依次比较相邻的差#include <iostream>using namespace std;int partions(int b[],int low,int high) {图1.7 七桥问题int prvotkey=b[low];b[0]=b[low];while (low<high){while (low<high&&b[high]>=prvotkey)--high;b[low]=b[high];while (low<high&&b[low]<=prvotkey)++low;b[high]=b[low];}b[low]=b[0];return low;}void qsort(int l[],int low,int high){int prvotloc;if(low<high){prvotloc=partions(l,low,high); //将第一次排序的结果作为枢轴 qsort(l,low,prvotloc-1); //递归调用排序由low 到prvotloc-1qsort(l,prvotloc+1,high); //递归调用排序由 prvotloc+1到 high}}void quicksort(int l[],int n){qsort(l,1,n); //第一个作为枢轴，从第一个排到第n个}int main(){int a[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39};int value=0;//将最小差的值赋值给valuefor (int b=1;b<11;b++)cout<<a[b]<<' ';cout<<endl;quicksort(a,11);for(int i=0;i!=9;++i){if( (a[i+1]-a[i])<=(a[i+2]-a[i+1]) )value=a[i+1]-a[i];elsevalue=a[i+2]-a[i+1];}cout<<value<<endl;return 0;}4．设数组a[n]中的元素均不相等，设计算法找出a[n]中一个既不是最大也不是最小的元素，并说明最坏情况下的比较次数。

要求分别给出伪代码和C++描述。

#include<iostream>using namespace std;int main(){int a[]={1,2,3,6,4,9,0};int mid_value=0;//将“既不是最大也不是最小的元素”的值赋值给它for(int i=0;i!=4;++i){if(a[i+1]>a[i]&&a[i+1]<a[i+2]){mid_value=a[i+1];cout<<mid_value<<endl;break;}else if(a[i+1]<a[i]&&a[i+1]>a[i+2]){mid_value=a[i+1];cout<<mid_value<<endl;break;}}//forreturn 0;}5. 编写程序，求n至少为多大时，n个“1”组成的整数能被2013整除。

#include<iostream>using namespace std;int main(){double value=0;for(int n=1;n<=10000 ;++n){value=value*10+1;if(value%2013==0){cout<<"n至少为:"<<n<<endl;break;}}//forreturn 0;}6. 计算π值的问题能精确求解吗？编写程序，求解满足给定精度要求的π值#include <iostream>using namespace std;int main (){double a,b;double arctan(double x);//声明a = 16.0*arctan(1/5.0);b = 4.0*arctan(1/239);cout << "PI=" << a-b << endl;return 0；}double arctan(double x){int i=0;double r=0,e,f,sqr;//定义四个变量初sqr = x*x;e = x;while (e/i>1e-15)//定义精度范围{f = e/i;//f是每次r需要叠加的方程r = (i%4==1)?r+f:r-f;e = e*sqr;//e每次乘于x的平方i+=2;//i每次加2}//whilereturn r;}7. 圣经上说：神6天创造天地万有，第7日安歇。

为什么是6天呢？任何一个自然数的因数中都有1和它本身，所有小于它本身的因数称为这个数的真因数，如果一个自然数的真因数之和等于它本身，这个自然数称为完美数。

例如，6=1+2+3，因此6是完美数。

神6天创造世界，暗示着该创造是完美的。

设计算法，判断给定的自然数是否是完美数#include<iostream>using namespace std;int main(){int value, k=1;cin>>value;for (int i = 2;i!=value;++i){while (value % i == 0 ){k+=i;//k为该自然数所有因子之和value = value/ i;}}//forif(k==value)cout<<"该自然数是完美数"<<endl;elsecout<<"该自然数不是完美数"<<endl;return 0;}8.有4个人打算过桥，这个桥每次最多只能有两个人同时通过。

他们都在桥的某一端，并且是在晚上，过桥需要一只手电筒，而他们只有一只手电筒。

这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。

每个人走路的速度是不同的：甲过桥要用1分钟，乙过桥要用2分钟，丙过桥要用5分钟，丁过桥要用10分钟，显然，两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度，问题是他们全部过桥最少要用多长时间？由于甲过桥时间最短，那么每次传递手电的工作应有甲完成甲每次分别带着乙丙丁过桥例如：第一趟：甲，乙过桥且甲回来第二趟：甲，丙过桥且甲回来第一趟：甲，丁过桥一共用时19小时9．欧几里德游戏：开始的时候，白板上有两个不相等的正整数，两个玩家交替行动，每次行动时，当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差，而且这个数字必须是新的，也就是说，和白板上的任何一个已有的数字都不相同，当一方再也写不出新数字时，他就输了。

请问，你是选择先行动还是后行动？为什么？设最初两个数较大的为a, 较小的为b，两个数的最大公约数为factor。

则最终能出现的数包括: factor, factor*2, factor*3, ..., factor*(a/factor)=a. 一共a/factor个。

如果a/factor 是奇数，就选择先行动；否则就后行动。

习题41.分治法的时间性能与直接计算最小问题的时间、合并子问题解的时间以及子问题的个数有关，试说明这几个参数与分治法时间复杂性之间的关系。

2. 证明：如果分治法的合并可以在线性时间内完成，则当子问题的规模之和小于原问题的规模时，算法的时间复杂性可达到O(n)。

O(N)=2*O(N/2)+xO(N)+x=2*O(N/2)+2*xa*O(N)+x=a*(2*O(N/2)+x)+x=2*a *O(N/2)+(a+1)*x由此可知，时间复杂度可达到O(n);3.分治策略一定导致递归吗？如果是，请解释原因。

如果不是，给出一个不包含递归的分治例子，并阐述这种分治和包含递归的分治的主要不同。

不一定导致递归。

如非递归的二叉树中序遍历。

这种分治方法与递归的二叉树中序遍历主要区别是：应用了栈这个数据结构。

4. 对于待排序序列(5, 3, 1, 9)，分别画出归并排序和快速排序的递归运行轨迹。

归并排序：第一趟：（5,3）（1,9）；第二趟：（3,5,1,9）；第三趟：（1,3,5,9）；快速排序：第一趟：5（,3,1,9）；//5为哨兵，比较9和5第二趟：5（1,3, ,9）；//比较1和5，将1挪到相应位置；第三趟：5（1,3, ,9）;//比较3和5；第四趟：（1,3,5,9）;5. 设计分治算法求一个数组中的最大元素，并分析时间性能。

//简单的分治问题//将数组均衡的分为“前”，“后”两部分//分别求出这两部分最大值，然后再比较这两个最大值#include<iostream>using namespace std;extern const int n=6;//声明int main(){int a[n]={0,6,1,2,3,5};//初始化int mid=n/2;int num_max1=0,num_max2=0;for(int i=0;i<=n/2;++i)//前半部分{if(a[i]>num_max1)num_max1=a[i];}for(int j=n/2+1;j<n;++j)//后半部分{if(a[j]>num_max2)num_max2=a[j];}if(num_max1>=num_max2)cout<<"数组中的最大元素："<<num_max1<<endl;elsecout<<"数组中的最大元素："<<num_max2<<endl;return 0;}时间复杂度：O（n）6. 设计分治算法，实现将数组A[n]中所有元素循环左移k个位置, 要求时间复杂性为O(n)，空间复杂性为O(1)。