祖冲之数学故事
祖冲之人物生平
祖冲之，429年南朝宋元嘉六年出生于建康今南京，祖籍范阳郡遒县今河北涞水县。

西晋末期，北方发生大规模战乱，祖冲之的先辈从河北迁徙到江南，并在江南定居下来。

祖冲之就出生在江南，其祖父祖昌任刘宋朝大匠卿，是朝廷管理土木工程的官吏，父亲祖
朔之做“奉朝请”，学识渊博，常被邀请参加皇室的典礼、宴会。

祖冲之从小就受到很好的家庭教育。

爷爷给他讲“斗转星移”，父亲领他读经书典籍，家庭的熏陶，耳濡目染，加之自己的勤奋，使他对自然科学和文学、哲学，特别是天文学
产生了浓厚的兴趣，在青年时代就有了博学的名声。

早年经历
祖冲之曾在著作中自述说，从很小的时候起便“专功数术，搜烁古今”。

他把从上古
时起直至他生活的时代止的各种文献、记录、资料，几乎全都搜罗来进行考察。

同时，主
张决不“虚推古人”，决不把自己束缚在古人陈腐的错误结论之中，并且亲自进行精密的
测量和仔细的推算。

像他自己所说的那样，每每“亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷
筹策”。

由于祖冲之博学多才的名声，被南朝宋孝武帝派至当时朝廷的学术研究机关华林学省
做研究工作，后来又到总明观任职。

当时的总明观是全国最高的科研学术机构，相当于现
在的中国科学院。

总明观内分设文、史、儒、道、阴阳5门学科，实行分科教授制度，请
来各地有名望的学者任教，祖冲之就是其一。

在这里，祖冲之接触了大量国家藏书，包括
天文、历法、术算方面的书籍，具备了借鉴与拓展的先决条件。

祖冲之数学成就
数学史上的创举——“祖率”
祖冲之算出圆周率π的真值在3.1415926和3.1415927之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.1415926，祖冲之因此入选世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算到小数
第7位的科学家。

祖冲之还给出圆周率π的两个分数形式：22/7约率和355/113密率，
其中密率精确到小数第7位。

祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一
个重大贡献，后人将“约率”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。

圆周率的应用很广泛，尤其是在天文、历法方面，凡牵涉到圆的一切问题，都要使用
圆周率来推算。

如何正确地推求圆周率的数值，是世界数学史上的一个重要课题。

中国古
代数学家们对这个问题十分重视，研究也很早。

在《周髀算经》和《九章算术》中就提出
径一周三的古率，定圆周率为三，即圆周长是直径长的三倍。

此后，经过历代数学家的相
继探索，推算出的圆周率数值日益精确。

东汉张衡推算出的圆周率值为3.162。

三国时王蕃推算出的圆周率数值为3.155。

魏
晋的著名数学家刘徽在为《九章算术》作注时创立了新的推算圆周率的方法——割圆术，
将圆周率的值为边长除以2，其近似值为3.14;并且说明这个数值比圆周率实际数值要小
一些。

刘徽以后，探求圆周率有成就的学者，先后有南朝时代的何承天，皮延宗等人。

何
承天求得的圆周率数值为3.1428，皮延宗求出圆周率值为22/7≈3.14。

祖冲之认为自秦汉以至魏晋的数百年中研究圆周率成绩最大的学者是刘徽，但并未达
到精确的程度，于是他进一步精益钻研，去探求更精确的数值。

根据《隋书·律历志》关于圆周率π的记载：“宋末，南徐州从事史祖冲之，更开
密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺
四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。

密率，圆径一百一十三，圆周三百五
十五。

约率，圆径七，周二十二。

”祖冲之把一丈化为一亿忽，以此为直径求圆周率。

他
计算的结果共得到两个数：一个是盈数即过剩的近似值，为3.1415927;一个是朒数即不足的近似值，为3.1415926。

盈朒两数可以列成不等式，如:3.1415926*<π真实的圆周率<3.1415927盈，这表明
圆周率应在盈朒两数之间。

按照当时计算都用分数的习惯，祖冲之还采用了两个分数值
的圆周率。

一个是355/113约等于3.1415927，这一个数比较精密，所以祖冲之称它为
“密率”。

另一个是22/7约等于3.14，这一个数比较粗疏，所以祖冲之称它为“约率”。

祖冲之在圆周率方面的研究，有着积极的现实意义，他的研究适应了当时生产实践的
需要。

他亲自研究度量衡，并用最新的圆周率成果修正古代的量器容积的计算。

古代有一
种量器叫做“ 釜”，一般的是一尺深，外形呈圆柱状，祖冲之利用他的圆周率研究，求
出了精确的数值。

他还重新计算了汉朝刘歆所造的“律嘉量”，利用“祖率”校正了数值。

以后，人们制造量器时就采用了祖冲之的“祖率”数值。

数学杰作《缀术》
祖冲之写过《缀术》五卷，被收入著名的《算经十书》中。

《隋书》评论“学官莫能
究其深奥，故废而不理”，认为《缀术》理论十分深奥，计算相当精密，学问很高的学者
也不易理解它的内容，在当时是数学理论书籍中最难的一本。

在《缀术》中，祖冲之提出了“开差幂”和“开差立”的问题。

“差幂” 一词在刘
徽为《九章算术》所作的注中就有了，指的是面积之差。

“开差幂” 即是已知长方形的
面积和长宽的差，用开平方的方法求它的长和宽，它的具体解法已经是用二次代数方程求
解正根的问题。

而“开差立”就是已知长方体的体积和长、宽、高的差，用开立方的办法
来求它的边长;同时也包括已
知圆柱体、球体的体积来求它们的直径的问题。

所用到的计算方法已是用三次方程
求解正根的问题了，三次方程的解法以前没有过，祖冲之的解法是一项创举。

《缀术》还曾流传至朝鲜和日本，在朝鲜、日本古代教育制度、书目等资料中，都曾提到《缀术》。

《宋史·楚衍传》中说“于《九章》《缉古》《缀术》《海岛》诸算经尤得其妙。

天圣1023-1031初造新历”。

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