0
2545
55 09 Y Y Y1 3 23 3 3 0
将上面两式展开得：
经求解得：
1 7 5 9 Y 1 3 2 4 1 0 Y 2 3 5 5 9 Y 3 3 0 2022 0/5 6/29 87 Y 1 3 1 2 7 5 Y 2 3 5 5 9 Y 3 3 0
Y13 0.0746Y33 Y230.2864Y33
2 0
l m[Y (x)]2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx 0
y(x,t)
Yi 为集 中质量 mi处位 移幅值
如梁上还有集中质量mi
2020/6/28
2
l EI[Y(x)]2dx 0
l m[Y(x)]2dx 0
miYi2
i
l EI[Y(x)]2dx
2
0
l m[Y(x)]2dx
0
miYi2
i
由上式可见，要求频率必须先假设位移幅值函数Y(x) 。
l
P=1
l
4
3l
4
l 8
M2
P=1
l
M
0 2
11
11l 3 24 64EI
22
80l 3 24 64EI
12
21
12l3
2464EI
3)自振频率
1,2 12424ml464EI211380 211380241180122 6
1
ml4 0.03970 ,
EI
2
ml4 0.00295
EI
a
1
l
13
2020/6/28
1 2.21
2ml11 l2
EI m
2)图乘
11
4l3 39EI
EI
l
按正对称性集中
ml
1.5m l
ml
ml 2 ml 4
ml 2
ml 4
2l
2)图乘
l 16
P=1
9l
P=1
64
5l
M1
l
M
0 1
3 2 2020/6/28
2
l
l
解： 1)简化
0.75ml
4EI
ml 2
EI
0
2545
55 09 Y Y Y13 22 2 2 0
2020/6/28
将下式展开：
0.687
0.947
2561
1.000
0
2545
55 09 Y Y Y13 22 2 2 0
得： 1 7 5 9 Y 1 2 2 4 1 0 Y 2 2 5 5 9 Y 3 2 0
或： Y 3 2 3.147Y 124.311 Y 2 2
缩写成： 2020/6/28
Y2[][M]{Y}
Y1 11 12 L 1n m1
0Y1
M Y Y2n2L2n11
22
L
n2
L L L
2n
L
nn 0
m2
O mnY YM n2
计算步骤：
先假定一个振型并代入上式等号的右边，进行求解后 即可得到 2 和主振型的第一次近似值；
再以第一次近似值代入上式进行计算，则可得到 2 和 主振型的第二次近似值；如此下去，直至前后两次的计 算结果接近为止。
UTC Umax 0C 以梁的自由振动为例:
x
y(x,t)
0Tmax C
Umax Tmax
设: y(x,t)Y (x)sin(t) y & (x ,t)Y (x )co s(t )
动能: T 1 lm (x )y & (x ,t)2 d x 12 c o s 2 (t)lm (x ) Y 2 (x )d x
m
i
X
2 i
各质点处 X 的i 计算:
显然:
X2
X1
X
' 2
m 6g
MM
m 5g
X6
X5
X
' 6
如 X 的5' 计算:
m 4g
m 6g
m 3g
m 5g
12EI L3
X
' 5
m 2g
12EI L3
X
' 5
12EI L3
X
' 5
m 1g
X 0
mi gX5' 5 2020/6/28
12EI L3
mig
令：
Y12
Y
2 2
2
1
经两轮迭代后得：
Y Y12222213511061.19.90500
故第二频率为：
2
1 1351106
27.2rad/s
再由： Y 3 2 3.147Y 124.311 Y 2 2
得： Y 3 2 3 . 1 4 7 1 . 9 9 5 4 . 3 1 1 ( 1 . 0 0 0 ) 1 . 9 6 7
因此第二振型为： Y (2 ) 1 .0 1 4 0 .5 0 1 1 .0 0 0 T
2020/6/28
求第三振型： 利用主振型的正交性，将求得的第一、第二振型可得：
2561
0.687 0.947 1.000
2545
0 Y Y123 3 0
0
559 Y33
1.014
0.501
2561
1.000
5591.000
42.70
0.080
32106 144.7032531.6106 0.272
qL4 x4 2x3 x2 Y(x) ( )
24EI L4 L3 L2
x
P 1
满足边界条件：
x 0Y (x ) 0x L Y (x ) 0
x (L x) L
代入公式:
l
q( x)Y ( x)dx
2
0
l m[Y ( x)]2 dx
0
22.45 EI
l2 m
2020/6/28 与精确值相差0.4%。
代入公式:
l
q( x)Y ( x)dx
2
0
l m[Y ( x)]2 dx
0
q
qLx qx2 22
x
P 1
x (L x) L
9.87 EI
l2 m
与精确解相比，各种方 法的精度还是相当高的。
2020/6/28
[例12.25] 求两端固定梁的第一频率。
qL2
q
12
解：梁在q作用下的绕曲线:
[例12.26] 求图示框架的第一频率，横梁刚度为无穷大。
解：以各层重量 m i 当g 作
m6
水平力作用在结构上，由
此产生的各质点处的位移
m5
X i作为第一振型的近似。
则最大变形能和动能:
m4
1 n
Umax 2 i1 mi gXi
m3
Tmax
12
2
n
mi Xi2
i1
m2
m1
g
mi Xi
2020/6/28
Y13 0.0746Y33 Y230.2864Y33
令： Y33 1.000
则设第三振型为：Y (3 ) 0 .0 7 5 0 .2 8 61 .0 0 0 T
求第三频率：
YY123332
106
1.84 1.84
1.84 2.95
1.842561 2.95
2545
0 0.075 0.286
Y33
1.84 2.95 4.16 0
1
5l.022
EI, m
b
1
2
18l.242
EI m
4)自振频率汇总
2 .2 1E I 5 .0 2E I 1 8 .4 2E I
1l2
, m
2l2
, m
3l2
m
2020/6/28
3 矩阵迭代法
矩阵迭代法它是采用逐步逼近的计算方法来确定结构的
频率和振型。 体系作自由振动时，各质点的位移幅值为：
2 0
2
0
最大动能:
2020/6/28
Tmax
12l m(x)Y2(x)dx
20
应变能:
U
1 2
l 0
2 y
EI
x
2
2
dx
梁的自由振动
1
sin2 (t
l
)
EI[Y ( x)]2 dx
2
0
x
最大应变能:
Umax
1l 20
EI[Y(x)]2dx
Umax Tmax
l EI[Y (x)]2 dx
l
满足边界条件: x 0Y (x ) 0x L Y (x ) 0
代入公式:
2020/6/28
l EI[Y ( x)]2 dx
2
0
l m[Y ( x)]2 dx
0
9.8696 EI
l2
m
3）梁在q作用下的绕曲线:
Y(x) q (L3x2Lx3x4) 24EI
满足边界条件:
x 0Y (x ) 0x L Y (x ) 0
假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：
必须满足运动边界条件： 几何边界条件
自然边界条件
Rayleigh法主要用于求ω1的近似解
所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近;结构
比较容易出现的变形形式;曲率小，拐点少。
2020/6/28
通常可取结构在某个静荷载q(x)作用下的弹性曲线
作为 Y(x)的近似表达式。此时应变能可用相应荷载
X
' 5
5
12EI 5 L3
X
' 6
X