故 0 , 即 .
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“
” 已知 b＝ a , 则 b＝ 0 a , b 同向
a ∥b
a , b 反向
例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点,
试用 a 与 b 表示 MA , MB , MC , MD .
a b AC b a BD
O A OA 6( 1 OA , 2
, 因点 A 在第一卦限 , 故 cos 1 2 于是
2 1 , ) 2 2
(3 , 3 2 , 3)
故点 A 的坐标为 (3 , 3 2 , 3) .
第二节 目录
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第二节 数量积 向量积 *混合积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积
2 MA 2 MB
MD 1 (b a ) 2
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D
b
C
MA 1 (a b) 2 MC 1 (a b) 2
A MB 1 ( b a ) 2
M
a
B
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三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. z z 轴(竖轴) Ⅱ • 坐标原点 Ⅲ
M3
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例5. 在 z 轴上求与两点
离的点 .
及
等距
解: 设该点为 M (0 , 0 , z ) , 因为 M A M B ,
(4) 2 12 (7 z ) 2
解得
3 5 (2 z )
2 2
9
2
故所求点为 M (0 , 0 , 14 ) .
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解: 2×① －3×② , 得 x 2 a 3 b (7 , 1,10) 代入②得 1 y (3 x b ) (11, 2 ,16) 2
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例3. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使
及实数 1, 如图所示
A M B
中点公式:
x1 x2 , 2
y1 y2 , 2
z1 z 2 2
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B M
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五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式 则有 设 r ( x , y , z ), 作 OM r , r OM OP OQ OR 由勾股定理得 r OM 对两点 与 因
第八章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数
第二部分
空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
第八章
二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系
四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
的坐标为 M ( x , y , z ) , 则
OM ON NM OA OB OC
r x i y j z k (x , y , z )
(点积) .
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b 在 a 上的投影为
b
故
记作
b Pr ja
b a b a Pr ja 同理 ,当 b 0 时,

2. 性质
a 0, b 0
则 a b 0
则有
(1) a a (2) a , b 为两个非零向量,
a b 0
a
三角形法则可推广到多个向量相加 .
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s a1 a2 a3 a4 a5 a4 a3 a5
s
a2 a1
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2. 向量的减法
a
三角不等式
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3. 向量与数的乘法 规定 :
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
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1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1 A 得定比分点公式: M x1 x2 y1 y2 , , B 1 1 z1 z 2 o 1 A
说明: 由
当 1 时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
M1 M2
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
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一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M 2 M 3 (5 7) 2 (2 1) 2 (3 2) 2 6 M 1M 3 (5 4) 2 (2 3) 2 (3 1) 2 6 M 2 M 3 M 1M 3
即 M 1M 2 M 3 为等腰三角形 .
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M1 M2
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坐标轴上的点 P, Q , R ;
z
坐标面上的点 A , B , C
R(0,0, z )
B(0, y, z )
C ( x, o, z )
o
r
M
Q(0, y,0)
y
x P( x,0,0)
A( x, y,0)
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z
坐标轴 :
o
y
x
坐标面 :
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2. 向量的坐标表示
两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
(a b) c a (b c)
c
bc
b ab
三角形法则:
a
ab
b
ab
b
a
运算规律 : 交换律
ab ba 结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
平行向量对应坐标成比例: 当 a 0 时,
四、利用坐标作向量的线性运算
bx a x by a y bz a z
bx b y bz ax a y az
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例2. 求解以向量为未知元的线性方程组 ① 5x 3y a ② 3x 2 y b 其中 a （ 2， 1， 2 ） ,b （ 1， 1， 2 ） .
机动
任取空间一点 O ,
称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量
a , b 的夹角.
z
o x
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r


y
结束
x x cos r x2 y2 z 2 y y cos r x2 y2 z 2 z z cos r x2 y2 z 2

3
,
2 cos 2 3 4
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例8. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 轴 y 轴的夹
, , 角依次为 3 4 且 O A 6 , 求点 A 的坐标 .
, 则 , 解: 已知 3 4 cos 2 1 cos 2 cos 2 1 4
c0
时, 显然成立 ;
当c 0时
a Pr j b a b c c Pr jc a b c Pr jc c
b ac bc a c Pr jc c Pr jc
可见 a a 总之: 1a a ; 运算律 : 结合律 ( a ) ( a ) a 1 a a ; 分配律 (a b ) a b 1 a . 则有单位向量 a a a a a 因此
结束
例6. 已知两点
解: A B

和
求
AB

AB 3 1 2 , , 14 14 14
1 (3 ,1, 2) 14

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2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量 记作 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. x x cos r x2 y2 z 2