0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 1 1 Q3 0 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
1 0 0 0 Q4 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 1 Q3 0 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
1 0 0 0 Q4 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 Q 0 7 0 1 1
7
Dü rer魔方空间
求Dü rer魔方空间的基
1 0 Q1 0 0
0 1 Q5 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0 Q2 0 1 0 0 0 0 0 0 Q 6 1 0 0 1
？
？ ？ ？
所得的线性方程组有16个方程？23个变量？ 如何求解该线性方程组呢？ Q1,…,Q7构成D空间的一组基，任意Dürer Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？ 魔方都可由其线性表示.
12
Dü rer魔方空间
随心所欲构造Dü rer魔方
r1 r2 r6 r5 r7 r3 r4 r3 r5 r4 r7 r1 r6 r2 r4 r6 r2 r5 r3 r1 r7 r7 r1 r3 r2 r4 r5 r6
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0
= (dij)
16维变量 y
A=
Ar y = 0 r (A, E) y = 0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
10
Dü rer魔方空间
构造Albrecht Dü rer的数字魔方
D r1Q1 r2Q2 r3Q3 r4Q4 r5Q5 r6Q6 r7Q7
16 r1 r2 r6 r5 r7 r3 r4 r3 r5 r4 r7 r1 r6 r2 5 = = r4 r6 r2 r5 r3 r1 r7 9 r7 r1 r3 r2 r4 r5 r6 4
6
Dü rer魔方空间
求Dü rer魔方空间的基
1 0 Q1 0 0
0 1 Q5 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0 Q2 0 1 0 0 0 0 0 0 Q 6 1 0 0 1
0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
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Dü rer魔方空间
>> A=[1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 1 0;0 1 0 0 1 0 0; …0 0 0 0 1 1 0]; %变量r对应的系数矩阵 >> C=[A,-eye(16)]; %系数矩阵(A,E ) d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44 >> C1=rref(C) %求行最简形 C1= 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 Q8 0 0 1 0 1 0
0 0 1 0
0 1 0 0
Q1 Q4 Q5 Q8 Q2 Q3 Q6 Q7 0 Q1,…,Q8线性相关
显然， Dü rer空间中任何一个魔方 都可以用Q1,Q2,…,Q8来线性表示，但 它们能否构成D空间的一组基呢？
0 1 0 0
0 0 0 0 Q 0 7 0 1 1
0 0 0 0 Q8 0 1 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
显然， Dü rer空间中任何一个魔方 都可以用Q1,Q2,…,Q8来线性表示，但 它们能否构成D空间的一组基呢？
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 0 1 1 -1 0 -1 -1 1 1 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 1 -1 0 -1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 1 1 0 -1 0 1 0 0 0 -1 -1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 0 -1 0 -1 1 0 0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0 -1 -1 0
5
Dü rer魔方空间
求Dü rer魔方空间的基
令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和 类似于n维空间的 基本单位向量组， 利用0和1来构造一 些R=C=D=S=1的 最简单的方阵。
0 1 0 0 0
Q1=
0
0
0
0
0 1
0
0
0 1
0
0 1
0
0
1在第一行中有4种取法，第二行中的1还有 两种取法。当第二行的1也取定后，第三、 四行的1就完全定位了，故共有8个不同的最 简方阵，称为基本魔方Q1,…,Q8
3
6
2
7
13
12
10 11 8 15 14 1
r1 8, r2 8, r3 7, r4 6, r5 2, r6 3, r7 4
D 8Q1 82 Q2 7Q3 6Q4 2Q5 3Q6 4Q7
Q1,…,Q7构成D空间的一组基，任意Dürer Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？ 魔方都可由其线性表示.
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
Q1 Q4 Q5 Q8 Q2 Q3 Q6 Q7 0 Q1,…,Q8线性相关 由 r1Q1 r2Q2 r3Q3 r4Q4 r5Q5 r6Q6 r7Q7 0
ri 0 Q1 , Q2 , , Q7 线性无关。 Q1,…,Q7构成D空间的一组基，任意Dürer Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？ 魔方都可由其线性表示.
多么奇妙 的魔方！ 1
Dü rer魔方
什么是Dü rer魔方
4阶Dü rer魔方： 行和=列和=对角线（或次对 角线）之和=每个小方块之和 = 四个角之和. 1 10 17 20 11 26 5 6 和为48. 16 3 14 15 铜币铸造时 间：1514年 20 09 12 7 你想构造Dü rer魔方吗？ Dü rer魔方有多少个？ 如何构造所有的Dü rer魔方？
多么奇妙 的魔方！ 2
Dü rer魔方
什么是Dü rer魔方
4阶Dü rer魔方： 行和=列和=对角线（或次对 角线）之和=每个小方块之和 = 四个角之和. A= 1 10 17 20 11 26 5 6 B= 设A,B是任意两个 16 3 14 15 Dü rer 魔方， 20 09 12 7 A+B 是Dü rer魔方吗？ 你想构造Dü rer魔方吗？ 对任意实数k，kA Dü rer魔方有多少个？ 是Dü rer魔方吗？ 如何构造所有的Dü rer魔方？
0 1 0 0
0 0 0 0 Q 0 7 0 1 1
0 0 0 0 Q8 0 1 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
1在第一行中有4种取法，第二行中的1还有 两种取法。当第二行的1也取定后，第三、 四行的1就完全定位了，故共有8个不同的最 简方阵，称为基本魔方Q1,…,Q8
Dü rer
主讲: 关秀翠
东南大学数学系
Dü rer魔方
什么是Dü rer魔方
Dü rer魔方：4阶，每一行之 和为34，每一列之和为34， 对角线（或次对角线）之和 是34，每个小方块中的数字 之和是34，四个角上的数字 加起来也是34.
版画创造时 间：1514年
该魔方出现在德国著 名的艺术家 Albrecht Dürer于1514年创造的 版画Melancolia。