D C B
A O M N E
H A B C P
E
D H F O 相似三角形与圆
1．如图，AB 是⊙O 直径，ED ⊥AB 于D ，交⊙O 于G ，EA 交⊙O 于C ，CB 交ED 于F ，求证：DG 2＝DE •DF
2．如图，弦EF ⊥直径MN 于H ，弦MC 延长线交EF 的反向延长线于A ，求证：MA •MC ＝MB •MD
3．(2006年黄冈)如图，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，点D 为劣弧AC 上一点，弦ED 分别交⊙O 于点E ，交AB 于点H ，交AC 于点F ，过点C 的切线交ED 的延长线于点P ．
(1)若PC =PF ，求证：AB ⊥ED ； (2)点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD 2=DE ·DF ，为什么？
4．如图(1)，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径，则有结论：AB · AC =AE ·
AD 成立，请证明．如果把图(1)中的∠ABC 变为钝角，其它条件不变，如图(2)，则上述结论是否仍然成立？
D C
B A
O
E
F
5．如图，AD是△ABC的角平分线，延长AD交△ABC的外接圆O于点E，过点C、D、E三点的⊙O1与AC的延长线交于点F，连结EF、DF．
(1)求证：△AEF∽△FED；
(2)若AD=8，DE=4，求EF的长．
6．如图，PC与⊙O交于B，点A在⊙O上，且∠PCA=∠BAP．
(1)求证：P A是⊙O的切线．
(2)△ABP和△CAP相似吗？为什么？
(3)若PB:BC=2:3，且PC=20，求P A的长．
7．已知：如图，AD是⊙O的弦，OB⊥AD于点E，交⊙O于点C，OE=1，BE=8，AE:AB=1:3．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)点F是ACD上的一点，当∠AOF=2∠B时，求AF的长．
8．如图，⊿ABC内接于⊙O，且BC是⊙O的直径，AD⊥BC于D，F是弧BC中点，且AF交BC于E，AB＝6，AC＝8，求CD，DE，及EF的长．
9． 已知：如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=o ，4AC =
，BC =AC 为直径的O e 交AB 于点D ，点E 是BC 的中点，连结OD ，OB 、DE 交于点F ．
(1)求证：DE 是O e 的切线；
(2)求EF ：FD 的值．
10．如图，A 是以BC 为直径的O e 上一点，AD BC ⊥于点D ，过点B 作O e 的切线，与CA 的延长线相交于点E G ，是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．
(1)求证：BF EF =；
(2)求证：PA 是O e 的切线；
(3)若FG BF =，且O e
的半径长为BD 和FG 的长度．
B C E
C
4．答：．连接BE ，证△ABE ∽△ADC 图(2)同理可证，结论仍成立；
5．答：．(1)连接EC ，可证∠DFE =∠DCE ，又
∠DCE =∠BAE =∠CAE ，从而△AEF ∽△FED ；(2)EF
=
6．答：．(1)作直径AC '，连接BC '，证∠P AC '=90o 即可；(2)△ABP ∽△CAP ，理由略；(3)P A
10．(1)证明：BC ∵是O e 的直径，BE 是O e 的切线，
EB BC ⊥∴．
又AD BC ⊥∵，AD BE ∴∥．
易证BFC DGC △∽△，FEC GAC △∽△．
BF CF EF CF DG CG AG CG
==∴，． BF EF DG AG
=∴． G ∵是AD 的中点，
DG AG =∴．
BF EF =∴．
(2)证明：连结AO AB ，．
BC ∵是O e 的直径，90BAC ∠=∴°．
在Rt BAE △中，由(1)，知F 是斜边BE 的中点，
AF FB EF ==∴．
FBA FAB ∠=∠∴．
又OA OB =∵，ABO BAO ∠=∠∴．
BE ∵是O e 的切线，90EBO ∠=∴°．
90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∵°，
PA ∴是O e 的切线．
(3)解：过点F 作FH AD ⊥于点H ．
BD AD FH AD ⊥⊥∵，，
FH BC ∴∥．
由(1)，知FBA BAF ∠=∠，BF AF =∴．
由已知，有BF FG =，AF FG =∴，即AFG △是等腰三角形．
FH AD ⊥∵，AH GH =∴．
DG AG =∵，
2DG HG =∴，即12
HG DG =． 90FH BD BF AD FBD ∠=∵∥，∥，°，
∴四边形BDHF 是矩形，BD FH =．
FH BC ∵∥，易证HFG DCG △∽△．
FH FG HG CD CG DG ==∴，即12
BD FG HG CD CG DG ===． O e ∵
的半径长为
BC =∴
C
1
2
BD BD CD BC BD ===-∴．
解得BD =
BD FH ==∴．
12FG HG CG DG ==∵，12
FG CG =∴． 3CF FG =∴．
在Rt FBC △中，3CF FG =∵，BF FG =，
由勾股定理，得222
CF BF BC =+．
222(3)FG FG =+∴．
解得3FG =(负值舍去)．
3FG =∴．
［或取CG 的中点H ，连结DH ，则2CG HG =．易证AFC DHC △≌△，
FG HG =∴，故2CG FG =，3CF FG =．
由GD FB ∥，易知CDG CBF △∽△，2233CD CG FG CB CF FG ===∴
．
2
3=，解得BD =．
又在Rt CFB △中，由勾股定理，得222(3)FG FG =+， 3FG =∴(舍去负值)．
］。