v E
⋅
v dS
=
0
4、按1、2、3要求所作的高斯面，要容易计算面积，通 常选取柱面、球面等形状.
高斯定理应用之二: 计算通量
高斯定理的应用
主要是封闭曲面，或能化为封闭曲面以简化运算.
封闭面的通量
Φ= q
ε0
每个面的通量
Φ= q
6ε 0
分析电荷在面上、棱上，角上时，封闭面上的通量大小. 分析电荷在角上时，每个面上的通量大小.
qrv (r ≥ R)
4 πε0r3 球体外区域~电量集中
r
于球心的点电荷
例2.求无限长均匀带电直线(λ )的电场.
高斯定理的应用
λ
对称性分析:
v
L
dq O dq′
S
r
P
v dE
'
v
v dE
dE
+
v dE
'
P点处合场强 E
垂直于带电直线,
与P 地位等价的点的集合为
以带电直线为轴的圆柱面.
高斯面:
取长 L 的圆柱面，加上底、下底构成高斯面S
S
S
ε0
q内
∑ E = ( q内) (4 π ε0r2 )
S
q
R
r
o
r P
E
q
4πε0R2 ∝ r
∝1 r2
O
R
r ≥ R: ∑q内 =q
E外高斯=定4理π的qε0应r2用
∑ r ≤ R :
q内
=
q
4 3
π
R
3
⋅ 4 π r3 3
E内
qrv
=
qr
4 πε0R3
(r ≤ R)
v E
=
4 πε0R3球体内区域 E ∝ r
大学物理: 电磁学
静电场
第5讲 高斯定理的应用
∫ ∑ v
E
⋅
v dS
=
1
S
ε0
q内
高斯定理的一个重要应用就是计算电场强度.
高斯定理的应用
高斯定理计算场强的条件: 带电体的电场强度分布要具有高度的对称性. ⑴ 高斯面上的电场强度大小处处相等；
⑵ 面积元dS的法线方向与该处的电场强度的方向一致.
典型实例: 均匀带电无限长直线、圆柱，无限大带 电平板，均匀带电球体及球面等
λL ε0
r
∴ E= λ 2 π ε0r
讨论: 1. 无限长均匀带电柱面的电场分布？
高斯定理的应用
对称性分析: 视为无限长均匀 带电直线的集合
Or
E OR
选同轴圆柱型高斯面；
由高斯定理计算
P
v
d
v E
′v
dE
+
dEv′
dE
r<R: E=0
r>R: E= λ 2πε0r
r
高斯定理的应用
2. 求无限长、 均匀带电柱体的电场分布时，高斯面
高斯定理的应用
应用高斯定理求E除对电场分布有要求以外，关键是选取 合适的高斯面.
选取原则:
∫
v E
⋅
v dS
=
E
⋅
S
=
∑q
ε0
1、高斯面必须经过所求场点
2向、处在处求相E同的(部通分常高使斯Ev面//上nv ，，要或求co该sθ面=上1 )各.目点的E是的可大以小把、E方从
3积、分不号求内E提的出部来分.高斯面Ev ⊥ nv ，使
如何选取？
高
高
斯
斯
面
面
r
l
rl
3.当带电直线，柱面，柱体不能视为无限长时， 能否用高斯定理求电场分布？
例1. 求均匀带电球体(q、R)的电场分布.
高斯定理的应用
解: 对称性分析
作以O为中心, r为半径
的高斯面S
S面上各点彼此等价
v Ev E
大小相等 方向沿径向
S
d q′ v
q
R
o
r r0 P d E
v dE
+
v dE
′
dq r0
d
v E
′
由高斯定理:
∫ ∫ ∑ v E
⋅
v dS
=
E cos0odS = E ⋅ 4π r2 = 1
λ
S
r
L
P
E O
∫ ∫ ∫ ∫ v E
⋅dSv
=
Ev ⋅
v dS
+
v E
⋅
v dS
+高斯Ev定⋅理dS的v 应用
S
上
下
侧
∫ ∫ ∫ = E cos πdS + E cos πdS + E cos0odS
上
2
下
2
侧
= E ⋅ 2 π rL
由高斯定理
∫
v E
⋅
v dS
=
E
⋅
2
π
rL
∑ = 1
ε0
q内
=