一元二次方程及解法经典习题及解析知识技能：一、填空题：1．下列方程中是一元二次方程的序号是 ．42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④5232=+x x ⑤ 412=+x x⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。

⑧⑦ ◆答案：⑤④③①,,,◆解析：判断一个方程是否是一元二次方程，要根据一元二次方程的定义，看是否同时符合条件2．已知，关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a◆答案：5-=/3．当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程． ◆答案：2±4．解一元二次方程的一般方法有 ， ， ， · ◆答案：直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法5．一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为： ．◆答案：◆解析：此题不可漏掉042≥-ac b 的条件．6．方程0322=--x x 的根是 ．◆答案：3.1-7．不解方程，判断一元二次方程022632=+--x x x 的根的情况是 ． ◆答案：有两个不相等的实数根8．若关于X 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是 ． ◆答案：425≤k ◆解析：‘．．方程有实根，⋅≤∴≥-=-∴425,045422k k ac b 9．已知：当m 时，方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根．◆答案：43≥ ◆解析：。

．‘方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根． ⋅≥∴≥-=-+-++=--+=-∴43,0152016164144)2(4)12(42.2222m m m m m m m m ac b 10．关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 ．◆答案：无实根∴<-∴>+∴≥,04,02,0222ac b k k 原方程无实根．二、选择题：11．若a 的值使得1)2(422-+=++x a x x 成立，则a 的值为( )A ．5 8．4 C ．3 D ．2◆答案：C◆解析：,341441)2(222++=-++=-+x x x x x12．把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后，a 、b 、c 的值分别为( ) 3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D◆答案：C ◆解析：方程x x 332-=-化为.0332=-+x x 故.3.3.1-===c b a 故C 正确．13．方程02=+x x 的解是( )x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D ◆答案：C◆解析：运用因式分解法得,0)1(=+x x 故.1,021-==x x 故C 正确．14．(2006·广安市)关于X 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k 的取值 范围是( )1.->k A 1.>k B 0.=/k C 1.->k D 且0=/k◆答案：D◆解析：由题意知⎩⎨⎧>+=/.044,0k k 解得1->k 且.0=/k 15．(2006·广州市)一元二次方程0322=--x x 的两个根分别为( )3,1.21==x x A 3,1.21-==x x B 3,1.21=-=x x C 3,1.21-=-=x x D◆答案：C16．解方程.251212;0)23(3)32(;0179;072222x x x x x x x =+=-+-=--=-④③②① 较简便的方法是( )A ．依次为：开平方法、配方法、公式法、因式分解法B ．依次为：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法 ①.C 用直接开平方法，②④用公式法，③用因式分解法①.D 用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法◆答案：D17．(2004·云南省)用配方法解一元二次方程.0782=++x x 则方程可变形为( )9)4.(2=-x A 9)4.(2=+x B 16)8.(2=-x C 57)8.(2=+x D◆答案：B18．一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) 2.>k A 2.<k B 且1=/k 2.<k C 2.>k D 且1=/k◆答案：B◆解析：‘．‘方程有两个不相等的实根4)2(4,22--=-∴ac b(1,048)1()>-=-⨯-k k 2<∴k 且,1=/k 故B 正确．19．下列方程中有两个相等的实数根的方程是( )09124.2=++x x A 032.2=-+x x B02.2=++x x C 072.2=-+x x D◆答案：A◆解析：只有A 的判别式的值为零，故A 正确．20．(2004·大连市)一元二次方程0422=++x x 的根的情况是( )A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根◆答案：D◆解析：∴<-=⨯-=-,012442422ac b 方程没有实数根，故D 正确21．下列命题正确的是( ) x x A =22.。

只有一个实根 111.2=+-x x B 有两个不等的实根 C ．方程032=-x 有两个相等的实根 D ．方程04322=+-x x 无实根◆答案：D◆解析：A 有两根为B x x ;21,021==有一根为C x :2=有两根为;3,321-==x x 故D 正确． 三、解答题：22．(2006·浙江省)解方程.222=+x x ◆解：.31,3121-=+-=x x 23．用因式分解法解方程：.15)12(8)3(;05112)2(;015123)1(22=+=+-=-+x x x x x x ◆解：(1)原方程化为.1,5,9)2(,0542122=-=∴=+=--+x x x x x ⋅===--21,5,0)12)(5)(2(21x x x x (3)原方程化为⋅=-==+=+=-+43,45.1)41(,161521,01581621222x x x x x x x 24．解关于2的方程：);0(0)()()1(=/=-+-m x c c x mx).0(0)()2(2=/=---m n x n m mx◆解析：解字母系数的一元二次方程时要注意区别字母系数与未知数；方程两边同时除以含字母的代数式时，要考虑到分母不为零的条件，以保证除法有意义．◆解：(1)原方程整理为0,0)1)((,0)()(=-=--=---c x mx c x c x C x mx 或,01=-mx;1,,021mx c x m ==∴=/ (2)原方程化为01,0))(1(=-=+-x n mx x 或,0=+n mx⋅-==∴=/mn x x m 21,1,0 25．不解方程，判别下列方程根的情况．5)3(2)1(=+x x ;0352)2(2=--x x;04129)3(2=++x x .0)2()12)(4(2=++-y y y◆解：(1)原方程可化为,05622=-+x x ∴>+=-⨯⨯-=-,04036)5(246422ac b原方程有不相等两实根； ∴>+=-⨯⨯--=-,01220)3(14)52(4)2(22ac b 原方程有不相等两实根；∴=-=⨯⨯-=-,0144144494124)3(22ac b 原方程有相等两实根；(4)原方程化为：,01252=+-y y ∴<-=⨯⨯--=-,0204154)2(422ac b原方程无实根．26．已知关于z 的方程,03)12(22=-+++k x k x 当k 为何值时，(1)方程有两个不相等的实数根?(2)方程有两个相等的实数根?(3)方程无实根?◆解：.134)3(4)12(4222+=--+=-k k k ac b 当b 201344>+=-k ac 时，413->k 当b 201344=+=-k ac 时，;413-=k 当b 201344<+=-k ac 时，;413-<k 当413->k 时，原方程有两个不相等的实数根； 当413-=k 时，原方程有两个相等的实数根； 当413-<k 时，原方程无实根． 27．已知：023242=+--a ax x 无实根，且a 是实数，化简.3612912422+-++-a a a a◆解：方程023242=+--a ax x 无实根,0)23(44)2(4,22<+-⨯--=-∴a a ac b 即,01282<+-a a 解得,62<<a 当62<<a 时， .3632)6()32(361291242222+=-+-=-+-=+-++-a a a a a a a a a28．k 取何值时，方程0)4()1(2=++++k x k x 有两个相等的实数根?并求出这时方程的根． ◆解：根据题意，得.3,5,0152,0)4(4)1(421222-===--=+-+=-k k k k k k ac b．当5=k 或3-=k 时，原方程有两个相等的实数根．当5=k 时，方程为：3,096212-===++x x x x当3-=k 时，方程为：.1,012212===+-x x x x29．求证：关于2的方程013)32(2=-+++m x m x 有两个不相等的实数根．◆证明：,04,1344129124)13(4)32(422222≥+=+-++=--+=-m m m m m m m ac b ∴>+=-∴,0134422m ac b 原方程有两个不相等的实数根．30．求证：无论k 为何值，方程03)1(4)12(22=+-+--k k x k x 都没有实数根．◆证明：]3)1(4[4)]12(2[422+----=-k k k ac b )344(4)144(422+--+-=k k k k)344144(422-+-+-=k k k k)2(4-⨯=,08<-=．‘．无论k 为何值，方程03)1(4)12(22=+-+--k k x k x 都没有实数根．31．当c b a 是实数时，求证：方程0)()(22=-++-c ab x b a x 必有两个实数根，并求两根相等的条件．◆证明：2222222242442)(4)]([c b ab a c ab b ab a c ab b a ++-=+-++=--+-=∆ ,4)(22c b a +-=,0,04,0)(22≥∆∴≥≥-c b a．‘．方程0)()(22=-++-c ab x b a x 必有两个实数根，当方程两根相等时，,04)(22=+-=∆c b a 0)(2=-∴b a 且b a c =∴=,042且α=c ．。