公式1. 平方差公式 a2 - b2 = ( a + b )( a – b )2. 和平方公式 ( a + b )2 = a2 + 2ab + b23. 差平方公式 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b24. 等差数列公式 Sn = = a+1n = + 15. 立方和公式: a3 + b3 = ( a + b )( a2– ab + b2 )6. 立方差公式: a3– b3 = ( a - b )( a2 + ab + b2 )7. 奇数和公式: 1 + 3 + 5 + …… + (2n-1) = n28. 偶数和公式: 2 + 4 + 6 + …… + 2n = n(n+1)9. 多数平方和公式: 12 + 22 + 32 + …… + n2 =10. 多数立方和公式: 13 + 23 + 33 + …… + n3 = (1 + 2 + …… + n)211. 特种公式: 1×2 + 2×3 + 3×4 + …… + n×(n+1)= 12 + 22 + 32 + …… + n2 + 1 + 2 + 3 + …… + n = n(n+1)(n+2)与因数相关的知识1. 因数个数：分解质因数后，所有指数加1后的乘积。

2. 因数和：设A＝2a×3b×5c那么因数和＝（20+21+…+2a）×（30+31+…+3b）×（50+51+…+5c）3. 因数积：设A＝2a×3b×5c那么因数积＝A因数个数/2(完全平方数除外)4. 因数倒数和：设A＝2a×3b×5c那么+ + =循环小数7：＝0.142857＝0.285714＝0.428571＝0.571428＝0.714285＝0.85714213：＝0.076923 ＝0.153846184275＝0.230769 ＝0.384615 ＝0.307692 ＝0.461538 ＝0.692307 ＝0.538461 ＝0.769230 ＝0.615384 ＝0.923076＝0.846153排列组合进阶※ 排列是先选再排，组合是只选不排。

=(n 里选m 个的数量和n 里(n-m)个不选的数量是一样的)=＝1（一个不选和全部都选只有一种情况）+++……+2n (每个元素有选中和不选中两种情况)常用方法：1. 优限法：找出特殊的情况，先把特殊的情况分组（有可能需要细分，如0，2，4又分为0和2，4），再计算其他情况2. 捆绑法：相邻问题，直接捆在一起，算一个，再与其他的排，注意捆在一起包内的，也 要排序，然后两个数乘积即可。

3. 插空法：求不相邻问题，那就把他们仍出去，先排剩下的，排完，再插空，查出多少个 空位再选多少个元素去插空即可。

4. 大除法：先把所有的元素排列数量求出来，再找出限定条件的元素单独排一排，并找到 限定条件后占全部限定元素排列的比率，再与所有排列数量相乘即可。

5. 插板法：都变为“至少一个”的情况，再查空位，插板，用C 计算即可。

6. 排除法：正面求解困难，则利用反向求解，再用全部减去反向，可得正向解。

376926 15384余数余数性质：1. 周期性。

2. 余数的和等于和的余数。

3 余数的差等于差的余数。

4. 余数的积等于积的余数。

物不知数（中国剩余定理）解：3和5的最小公倍数为15，15+1＝16，A最小值为16.公倍数，再减去补数，即为最小的被除数。

例：A÷7余6A÷6余5，A÷5余4，A÷4余3，求A最小多少？解：余数与除数互补，[7，6，5，4]＝420，420－1＝419，A最小为419.3. 试数法：先找第一个式子满足的数，再套用第二个式子，求解。

例：A÷7余5A÷6余3，求A最小多少？解：试第一项满足的数：5，12，19，26，33，40分别套用第二式，发现33满足条件，所以A最小为33，通式为33+42K。

4. 逐级满足法：用第一个式子设商值为K，然后求得被除数，代入二式，求K，即为最小的被除数。

A÷6余3，求A最小多少？解：设A÷7＝K余5A=7K+5代入第二式中，得，（7K+5）÷6余3，得7K÷6余4当K＝4时，满足。

即A=7K+5＝33，通式为A=33+42K同余定义：对于自然数A、B，除以相同的数m，所得的余数也相同，则称A、B对于模m同余。

表示为A≡B（mod m）读作：“A同余于B，模m”推论1：若A＞B，A÷m＝X…….nB÷m＝Y…….n那么，A-B＝（X-Y）m; m能整除A、B的差, m∣(A-B).推论２：若A≡B（mod m），B≡C（mod m）那么，A≡C（mod m）；推论３：若A≡B（mod m），C≡D（mod m）那么，（A±C）≡（B±D）（mod m）；AC≡BD（mod m）推论4：若A≡B（mod m），那么A n≡B n（mod m）手段一：十字相乘法即代表左边，手段二：作差A－B＞0 A＞B A－B＜0 A＜B手段三：作商1 A＞B 1 A B手段四：取倒数A B A B手段五：化小数手段六：基准法真分数：当分子与分母差一定时，分母越大，值越大假分数：当分子与分母差一定时，分母越大，值越小在之间比较大小，因分子与分母差都为3，且是真分数，则在之间比较大小，因分子与分母差都为3，且是假分数，则手段七：通分差法（将分子分母变为差一定，再用手段六判断大小）在之间比较大小，先将变为，分子与分母差都为5，真分数，则手段八：糖水法（糖水的甜度＝模型一： (在糖水中加入糖，糖水的甜度增加，也可以理解为通分差) 模型二： (糖水中加入另一糖水，新的糖水的甜度在二者之间)模型三：有趣的巧数1. 33......3×33......3＝11......1088 (89)n个3 n个3 n－1个1 n－1个8推论：6666×6666＝44435556，9999×9999＝99980001，3333×6666＝22217778 3333×9999＝33326667，6666×9999＝666533342. 33......3×33......34＝11......122 (2)n个3 n－1个3 n个1 n个2推论：6666×3334＝22224444，9999×3334＝333366663. 111＝3×37 10001＝73×37 2007＝32×223999＝27×37 10101＝3×7×13×37 2008＝23×25111111＝271×41 1995＝3×5×7×19 2015＝5×13×31 111111＝3×7×11×13×37 1998＝2×33×37 2016＝25×3×74. 头同尾和10：两个两位数相乘，如首位相同，末位加和为10，则得数四位数中前两位为首位与首位加1的乘数，末两位为尾数相乘的乘数。

如：53×57＝3021，84×86＝7224，39×31＝1209……5. 完全平方数口算：找到接近5与0的数再利用平方差公式计算如：782＝802-（802－782）＝6400-（80+78）×2＝6400-316＝6084 762＝752+（762－752）＝5625+（76+75）＝5625+151＝57766. 123456789×8+9＝9876543217. M×99……9的数字和为9K.（其中M＜99……9）K个98. （+ +）×（++）－（+ + +）×+＝×两项乘积－两项乘积问题：把最长的算式看作小龙，则原式为：（有头无尾小龙）×（无头有尾小龙）－小龙×（无头无尾小龙）则结果为头尾相乘。

9. 1×2 + 2×3 +……+ n×(n+1) ＝1×a1 + 2×a2+……+ n×an＝n(n+1)×(2a n+a1),a1,a2……an为等差数列分数的分解设＝+ ，则得出：＝+ ＝所以：（A+m）(A+n)＝A×(2A+m+n)，即A2+(m+n)A+mn＝2A2+(m+n)A可得：A2＝mn解题思路：只需将分母平方后分解质因数，找到一对质因数后，分别加上原分母作为等式右边的两个分母。

例：将拆分成若干个分数单位的和。

解：12的平方＝144，而144＝1×144＝2×72＝4×36＝8×18＝……所以＝+ ＝+ ＝+ ＝+ ＝……要拆分成三个式子相加如何做？先拆成两个，再将其中一个拆成两个即可。

最值问题（1）两数和一定，则两数差越小，乘积越大，两数差越大，乘积越小。

（2）两数积一定，则两数差越小，加和越小，两数差越大，加和越大。

（3）多3少2不拆1原则。

例：14拆成几个自然数的积，求积最大值？+六大几何模型1. 等积模型：平行平移模型和等高模型2. 一半模型：3. 鸟头模型（共角模型）＝4. 蝴蝶模型（1）风筝模型（任意四边形）S 1×S 3＝S 2×S 4 （对顶面积乘积相等） AO:OC ＝S 1：S 4＝S 2：S 3＝（S 1+S 2）：（S 4+S 3)（2）梯形中的蝴蝶模型（梯形）S 1＝S 3S 1×S 3＝S 2×S 4 （对顶面积乘积相等） S 1：S 2：S 3：S 4＝ ab:b 2:ab:a 2 梯形S 对应的份数为(a+b)2AB C D E ABCDO S 4S 1S 2S 3a bS 1S 2S 3S 45. 燕尾模型××＝ 1 a ×c ×e ＝b ×d ×f＝（每一底边对应三对面积与线段的比）串性：＝6. 金字塔、沙漏模型（比例模型）：形状相同，大小不同的两个三角形。

如果DE 平行BC ，那么 （1）＝＝＝ （2）两个三角形面积比＝对应边长的平方比7. 勾股定理：在直角三角形中，两直角边长为a,b,斜边长为c,则有c 2＝a 2+b 2内弦图： 外弦图：常见勾股整数： 常见模型：3， 4， 5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17；9，40，41；＝S38. 毕克定理：计算点阵中顶点在格点上的多边形面积 a b cd ef AB B AC CD DE E FG a b a a a b b b C 2 b a a b a b a b a 2 b 2 b-a b a c b a b-a c a S3 S2 S1 S1 S2 S3S ＝（n + -1）×小四边形面积其中：n 是多边形内部的点数l 是多边形边界上点数9. 海伦公式：S 2＝p(p-a)(p-b)(p-c)，a,b,c 为三角形三边长，p ＝（半周长） 循环小数1. 有限小数：分母质因子只有2或52. 纯循环小数：分母质因子无2也无53. 混循环小数：分母质因子即含其他也含2或5.小数化分数：1. 纯循环小数化分数：0.a ＝; 0.ab ＝; 0.abc ＝2. 混循环小数化分数：0.ab ＝; 0.abc ＝; 0.abcd ＝正方体展开图（共11种）规律：（1）对面规律，两个相对的面展开后是日字或之字两个距离最远的面。