在k时刻可以获得新的观测矢量Zk，基于贝叶斯准则可以利
用测量模型来更新先验概率分布，从而获得需要的滤波结果：
pxk|z1:kpzkp |x k zkp |z 1 x :kk 1 |z1:k1
(2)
p z k |z 1 :k 1 p z k|x k p x k|z 1 :k 1 d x k
两个步骤递归计算就构成了最优的贝叶斯估计。遗憾的是，式和在很多场合
0 0 ck 0
xn Cs n vn
测量模型的矩阵形式
矢量卡尔曼滤波器的计算公式
snAsn1wn xnCsnvn
标量算术 矢量算术
ab aba2 a2 b 1ab A BAB ATA AB T A A B T
PnAnn1n1ATnQn
GnPnCTnCnPnCTnRn1
nnIGnCnPn
sn s1 n s2 n sq n T w n w1 n w2 n wq n T
信号矢量 噪声矢量
a1 0 A
0
a2
0 0
0 0 a q
sn As n 1 w n
参数矩阵 信号模型的矩阵形式
信号矢量：例2
s1 n as1 n 1 bs2 n 1 wn s2 n s1 n 1
sˆnnAnsˆn1n1GnxnAnCnsˆn1n1
2.3卡尔曼滤波的统计原理
状态模型和观察信号模型 贝叶斯滤波 卡尔曼滤波
状态模型和观测模型
假设实际系统的状态序列为xk,k ，其中k为时间序列标
号，xk nx 表示时间标号为k时的状态矢量，nx 为状态矢量的
维数。状态间的转移关系为
xkfk xk1,vk
pxk xk1 k0
系统观测到的序列为zk,k ，其中 zk nz 表示时间标
号为k时的观测矢量。观测量和系统状态之间的关系为：
zk hkxk,nk
pzk xk k0
v和n分别为方差为Q和R的高斯白噪声 需要注意的是：这里x表示信号状态，z表示观察/测量值。
贝叶斯估计
假设需要计算的后验分布 pxk1|z1:k1在时刻k-1已经得到，那
么我们利用状态模型可以获得时刻k状态的先验概率分布：
p x k |z 1 : k 1 p x k |x k 1p x k 1 |z 1 : k 1 d x k 1
(1)
注意：做了如下假设（即认为状态模型为一阶马尔科夫过程）：
px k|x k 1 ,z1 :k 1px k|x k 1
s
n
s1 s2
n n
wn
wn
0
sn Asn 1 wn
a b A 1 0
观察/测量矢量
xi n cisi n vi n i 1, 2, , k (k q)
xn x1n x2 n xk nT
vn v1n v2 n vk nT
c1
C
0
0
c2
0 0
0 0
P m k 1|k 1
k 1|k 1
px k|z 1 :k 1 N x k;m k |k 1 ,P k |k 1
P QFP F m Fm k|k1 k k1|k1
T k|k1 k1 k k1|k1 k
pxk|z1 :k Nxk;m k|k,P k|k PP KHP m k|km k|k 1K kzk H km k|k 1 k|k k|k1 k k k|k1
v和n都是参数已知的高斯分布
fk xk1,vk 是 x k 1 和 v k 的线性函数 hk xk,nk 是 x k 和n k 的线性函数
xk Fkxk1vk
zk Hkxknk
(1) (2)
px k 1 |z 1 :k 1 N x k 1 ;m k 1 |k 1 ,P k 1 |k 1
使用观察值更新预测（求后 验分布均值）
m k |k m k |k 1 K kz k H km k |k 1
求估计误差功率（求后验分 布方差）
P k|kP k|k1K kH kP k|k1
初始估计：m 0 |0 P 0 |0
2.4 卡尔曼滤波器扩展（非线性）
1。Extended Kalman Filter(EKF)
下没有可分解的计算方法，所以它们只是一个理论上的解。基于特定分布的
假设，如高斯分布可以获得最优估计的解析的计算方法 。
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波器认为后验概率在任何时刻都是高斯分布的，这样由均
值和方差就可以完全确定其概率分布。可以证明，如果 pxk1|z1:k1 是高 斯的，那么要使 pxk |z1:k 也是高斯的话，隐含了下面的假设：
中文第二章卡尔曼滤波器
内容
2.1 卡尔曼滤波器 2.2 由因果IIR维纳滤波器看卡尔曼滤波器 2.3 从bayes滤波角度看卡尔曼滤波器 2.4 卡尔曼滤波器的扩展
信号矢量：例1
（同时估计若干个信号）
s i n a i s i n 1 w i n ,i 1 ,2 , ,q
K k P k |k 1H T k H kP k |k 1H T k R k 1
取后验均值作为状态的估计值-〉卡尔曼滤波
滤波过程
预测
（1）状态一步预测 （先验分布均值）
mk|k1Fkmk1|k1
（2）预测误差功率 （先验分布方差）
Pk|k1Qk1FkPk1|k1FkT
更新
计算卡尔曼增益 K k P k|k 1H T k H kP k|k 1H T k R k 1
fk xk1,vk hk xk,nk 非线性？
解决：使用他们的泰勒展开式的一阶线性近似。
2。The Unscented Kalman Filter(EKF) 思想：近似一个高斯的分布比近似一个任意的非线性函数 要容易的多。
EKF与无色变换的比