目录一、泰勒公式简介 0（一）泰勒公式的基本形式 0（二）泰勒公式余项类型 (1)（三）泰勒公式的定理 (4)二、泰勒公式的证明 (5)（一）泰勒公式证明初探 (5)（二）证明泰勒公式 (5)三、泰勒公式的应用 (6)（一）利用泰勒公式求极限 (7)（二）利用泰勒公式判断函数的极值 (8)（三）利用泰勒公式判定广义积分敛散性 (9)（四）利用泰勒公式证明中值定理 (10)（五）利用泰勒公式求行列式的值 (12)（六）泰勒公式在关于界的估计的应用 (13)谢辞................................................ 错误！未定义书签。

参考文献 (16)摘要泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。

但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并未深入讨论，在教学过程中学生常因学用脱离而难以理解。

本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。

泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。

本文主要从不同的方面对泰勒公式进行综合论述：利用泰勒公式求极限，求无穷远处极限，证明中值公式，中值点的极限，证明不等式，导数的中值，关于界的估计，方程中的应用，用泰勒公式巧解行列式。

对于泰勒公式如何更广泛的应用于高等代数中这一问题，还在进一步的研究中。

关键字：泰勒公式极限函数不等式函数方程ABSTRACTTaylor formula is a very important concept in advanced mathematics. It divides complicated functions into polynomial functions. It have became a powerful leverage when we analysis and research other mathematics problem because of its simplicity. However, normal advanced mathematic textbooks only introduce how to use Taylor formula to expand the functions and never get into the applications of Taylor formula, The students are always hard to use it because we teach it detached from use in teaching process . This paper discusses some of Taylor's formula for the basic content, and focused on mathematical analysis in some applications. Taylor's formula is the mathematical analysis of the important knowledge, the use of certain topics in Taylor formula to reach the purpose of solving problems quickly. In this paper, different aspects from the Taylor formula for a comprehensive discussion: the use of Taylor's formula for the limit, for infinite distance limit, the proof of the value of the formula in the limit point to prove that inequality in the value of derivatives, it is estimated that the estimates on the sector, equations, using Taylor formula determinant clever solution.Taylor formula for how the wider use of Advanced Algebra with the problem, still further study.Key Words：Taylor formula limit function inequality function equation一、泰勒公式简介随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。

泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。

泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),nn f x T x x x ο=+- 即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。

它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

（一）泰勒公式的基本形式无论在近似计算或理论研究上，我们总是希望用一个多项式来近似地表示一个比较复杂的函数，这样做将会带来很大的方便。

比如，为了计算多项式的值，只须用加、减、乘三种运算，连除法都不需要，这是其他函数甚至很简单的初等函数所不具有的特点。

设给定了一个函数()f x ，我们要找到一个在指定点0x x =附近与()f x 很近似的多项式。

现在可以回顾一下函数的微分。

在研究微分用于近似计算时，我们有一个近似公式()()()()000f x f x f x x x '≈+-，即()()()()()0000f x f x f x x x o x x '=+-+- (1.1)公式表明，在点0x 附近的函数值()f x 可以用()0x x -的一次多项式()()()000f x f x x x '+-近似表示，且当0x x →（此时()0x x -是无穷小），所产生的误差()0o x x -为较()0x x -高阶的无穷小。

现在的问题是，用这样的一个一次多项式来近似计算()f x ，它的精确度往往并不能满足实际的需要。

因此我们希望找到一个关于()0x x -的n 次多项式()()()()2010200nn P x a a x x a x x o x x =+-+-++- (1.2)来近似表示()f x ，并使当0x x →时，其误差()()n f x P x -是较()0nx x -高阶的无穷小。

要想这样，那么多项式的系数01,,,n a a a ，究竟应当取何数呢？这个问题，无疑要根据给定的函数()f x 来确定，并且可以从前面的(1.1)式得到启发，我们把()()()()000f x f x f x x x '≈+-，与一次多项式()()1010P x a a x x =+-，对照一下，可知应该取()()0010,a f x a f x '==，而01,a a 的这两个数值可以由等式()()()()100100,P x f x P x f x ''==，分别求得。

事实上，()()()()01001001001001x x P x a a x x P x a a x x a ==+-''=+-=⎡⎤⎣⎦由此不难推想，为了确定n 次多项式()n P x 的全部系数，我们应该假定()f x 在点0x 附近具有直到n +1阶的导数，别且满足下列条件：()()()()()()()()()()00000000,,,,n n n n n n P x f x P x f x P x f x P x f x ''''''====(1.3)由(1.2)计算()n P x 在0x 点的各阶导数值，代入上面等式(1.3)，得()()()()()0010200,,2!,,!n n a f x a f x a f x n a f x '''====，即()()()()()0000102,,,,2!!n n f x f x a f x a f x a a n '''====，代入(1.2)式则得()()()()()()()()()200000002!!n nn f x f x P x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++- (1.4)这就是我们找的关于()0x x -的n 次多项式，称为()f x 在0x 点的n 次泰勒多项式。

它的各项系数是以()f x 在0x 点的各阶导数表出的。

（二）泰勒公式余项类型泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异。

定性的余项如佩亚诺型余项0(())n o x x -，表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小。

如)(!2132x o x x e x+++=，表示当0x →时，xe 用!212x x ++近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小。

定量的余项如拉格朗日型余项)1(0)1())(()!1(1++-+n n x x f n ζ（ζ也可以写成)(00x x x -+θ）。