2017年4月西城区高三一模数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么UA B =（A ）{|02}x x <≤ （B ）{|02}x x << （C ）{|0}x x < （D ）{|2}x x <2．在复平面内，复数i1i+的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期是（A ）2π （B ）π （C ）32π （D ）2π4．函数2()2log ||xf x x =+的零点个数为（A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）35．在ABC △中，点D 满足3BC BD −−→−−→=，则（A ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=-（B ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=+（C ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=- （D ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=+6．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小 正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（A ）B ）（C ）6（D ）7．数列{}n a 的通项公式为*||()n a n c n =-∈N ．则“1c ≤”是“{}n a 为递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8．将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2．考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为m ，则m 的最大值为 （A ）8 （B ）9（C ）10（D ）11第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在5(12)x +的展开式中，2x 的系数为____．（用数字作答）10．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若13a =，29S =，则n a =____；n S =____．11．执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为____．12．曲线cos ,1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）与直线10x y +-=相交于,A B 两点，则||AB =____．13．实数,a b 满足02a <≤，1b ≥．若2b a ≤，则ba的取值范围是____．14．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．平面区域W 由所有满足1A P P 组成，则W 的面积是____；四面体1P A BC -的 体积的最大值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的取值范围．16．（本小题满分14分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB =，E ，F 分别为PB ，PD 的中点．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AE 所成角的余弦值； （Ⅲ）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求PMPC的值．17．（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：（Ⅰ）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设i P '为第i 题的实测难度，请用i P 和i P '设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．18．（本小题满分13分）已知函数21()e 2x f x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-． （Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，直线1x =分别与直线l 和x 轴交于,A B 两点,求△AOB 的面积的最小值．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -，||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 且平行于AP 的直线与直线4x =交于点E ．求证：ODF OEF ∠=∠．20．（本小题满分13分）如图，将数字1,2,3,,2(3)n n ≥全部填入一个2行n 列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为12,,,n a a a ，第二行填入的数字依次为12,,,n b b b ．记11221||||||||nn i i n n i S a b a b a b a b ==-=-+-++-∑．（Ⅰ）当3n =时，若11a =，23a =，35a =，写出3S 的所有可能的取值； （Ⅱ）给定正整数n ．试给出12,,,n a a a 的一组取值，使得无论12,,,n b b b 填写的顺序如何，n S 都只有一个取值，并求出此时n S 的值；（Ⅲ）求证：对于给定的n 以及满足条件的所有填法，n S 的所有取值的奇偶性相同．西城区高三一模数学（理科）参考答案及评分标准2017.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．A 3．B 4．C 5．D6．C7．A 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．4010．132n -⋅；3(21)n ⋅-11．6 12．213．1[,2]214．π4；43注：第10，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由 tan 2sin a C c A =，得sin 2sin cos a CA c C⋅=．[1分] 由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=．[3分] 所以1cos 2C =．[4分] 因为(0,π)C ∈，[ 5分]所以π3C =．[6分] （Ⅱ）sin sin A B +2πsin sin()3A A =+-[7分]3sin 2A A =+[8分] π)6A =+．[9分]因为π3C =，所以2π03A <<，[10分]所以ππ5π666A <+<，[11分]所以1πsin()126A <+≤，[12分]所以sin sin A B +的取值范围是．[13分]解：（Ⅰ）设ACBD O =，则O 为底面正方形ABCD 中心．连接PO ．因为P ABCD -为正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ． [1分] 所以PO AC ⊥． [2分] 又BD AC ⊥，且POBD O =， [3分]所以AC ⊥平面PBD ． [4分]（Ⅱ）因为OA ，OB ，OP 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O xyz -．[5分]因为PB AB =，所以Rt Rt POB AOB ≅△△． 所以OA OP =． [6分] 设2OA =．所以(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,0,0)C -，(0,2,0)D -，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(0,1,1)F -． 所以(2,1,1)AE −−→=-，(2,0,2)PC −−→=--．[7分]所以||cos ,|||||AE PC AE PC AE PC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉==|． 即异面直线PC 与AE．[9分] （Ⅲ）连接AM ．设PMPC λ=，其中[0,1]λ∈，则(2,0,2)PM PC λλλ−−→−−→==--，[10分] 所以(22,0,22)AM AP PM λλ−−→−−→−−→=+=---．设平面AEMF 的法向量为(,,)x y z =n ，又(2,1,1)AF −−→=--，所以0,0,AE AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即20,20.x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩ 所以0y =．令1x =，2z =，所以(1,0,2)=n ．[12分] 因为AM ⊂平面AEF ，所以0AM −−→⋅=n ，[13分] 即222(22)0λλ--+-=， 解得13λ=，所以13PM PC =．[14分]解：（Ⅰ）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为40.220=．[2分] 所以，估计240人中有2400.248⨯=人实测答对第5题．[3分] （Ⅱ）X 的可能取值是0，1，2．[4分]216220C 12(0)19C P X ===；11164220C C 32(1)95C P X ===；24220C 3(2)95C P X ===．[7分] X 的分布列为：[ 8分] 123233801219959595EX =⨯+⨯+⨯=．[10分] （Ⅲ）将抽样的20名学生中第i 题的实测难度，作为240名学生第i 题的实测难度． 定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n'''=-+-++-，其中i P为第i 题的预估难度．并规定：若0.05S <，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．[11分]222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=．[12分]因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分]注：本题答案不唯一，学生可构造其它统计量和临界值来进行判断．如“预估难度与实测 难度差的平方和”，“预估难度与实测难度差的绝对值的和”，“预估难度与实测难度差的绝 对值的平均值”等，学生只要言之合理即可．18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）对()f x 求导数，得()e x f x x '=-， [1分]所以切线l 的斜率为000()e xx f x '=-，[2分]由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=，即000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-.[4分]（Ⅱ）依题意，切线方程中令1x =，得00020000011e e )22(e )(1)(2)(x x x y x x x x x =+=--+--.[5分]所以 (1,)A y ，(1,0)B .所以1||||2AOB S OB y =⋅△0001|(2)(1e 22)|x x x =-- 000(1)(11|e )|22x x x =--，0[1,1]x ∈-.[7分]设()(111e )22)(x x g x x -=-，[1,1]x ∈-.[8分]则11111e )(1)(e )(1)(e 1)22(2()22x x x x x x g x -+'=-----=-.[10分]令()0g x '=，得0x =或1x =．()g x ，()g x '的变化情况如下表：所以()g x 在(1,0)-单调递减；在(0,1)单调递增，[12分] 所以min ()(0)1g x g ==，从而△AOB 的面积的最小值为1．[13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=．[2分] 解得2a =，1c =． 所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是22143x y +=．[4分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得(2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=，[6分]所以21216243k x k --+=+．[7分]所以202843k x k -=+，0026(2)43ky k x k =+=+，即22286(,)4343k kM k k -++．[8分] 所以直线OM 的斜率是22263438443k k k k k +=--+，[9分]所以直线OM 的方程是34y x k=-．令4x =，得3(4,)D k -．[10分]直线OE 的方程是y kx =．令4x =，得(4,4)E k ．[11分] 由(1,0)F ，得直线EF 的斜率是44413k k=-，所以EF OM ⊥，记垂足为H ； 因为直线DF 的斜率是3141k k-=--，所以DF OE ⊥，记垂足为G ．[13分]在Rt EHO △和Rt DGO △中，ODF ∠和OEF ∠都与EOD ∠互余，所以ODF OEF ∠=∠．[14分]解法二：由（Ⅰ）得(2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=． 因为AP 的中点为M ，所以112(,)22x y M -． [ 6分] 所以直线OM 的斜率是112OM y k x =-，[ 7分] 所以直线OM 的方程是112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 直线OE 的方程是112y y x x =+．令4x =，得114(4,)2y E x +．[ 9分] 由(1,0)F ，得直线EF 的斜率是1143(2)EF y k x =+，[10分]因为211121114413(2)23(4)EF OMy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--， 所以EF OM ⊥，记垂足为H ；[12分]同理可得211121114413(2)23(4)DF OEy y y k k x x x ⋅=⋅==--+-， 所以DF OE ⊥，记垂足为G ．[13分]在Rt EHO △和Rt DGO △中，ODF ∠和OEF ∠都与EOD ∠互余，所以ODF OEF ∠=∠．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3S 的所有可能的取值为3，5，7，9.[3分] （Ⅱ）令i a i =(1,2,,)i n =，则无论12,,,n b b b 填写的顺序如何，都有2n S n =．[5分]因为i a i =， 所以{1,2,,2}i b n n n ∈++，(1,2,,)i n =．[6分]因为i i a b <(1,2,,)i n =，所以22111111||()nnnnn nn i i i i i i i i i i i n i S a b b a b a i i n=====+==-=-=-=-=∑∑∑∑∑∑．[8分]注：12{,,,}{1,2,,}n a a a n =，或12{,,,}{1,2,,2}n a a a n n n =++均满足条件．（Ⅲ）解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不变．不妨设i i a b >，记1ni i A a ==∑，1ni i B b ==∑，其中1,2,,i n =．则1111||()nnnnn i i i i i i i i i i S a b a b a b A B =====-=-=-=-∑∑∑∑．[ 9分]因为212(21)(21)2ni n n A B i n n =++===+∑， 所以A B +与n 具有相同的奇偶性．[11分] 又因为A B +与A B -具有相同的奇偶性， 所以n S A B =-与n 的奇偶性相同，所以n S 的所有可能取值的奇偶性相同．[13分]解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不变．考虑如下表所示的任意两种不同的填法，1||nn i i i S a b ==-∑，1||nni i i S a b ='''=-∑，不妨设i i a b <，i i a b ''<，其中1,2,,i n =．[ 9分]111111()()()()n ni i i i i i i i i i i i i i S S b a b a b b a a ======'''''+=-+-=+-+∑∑∑∑∑∑． 对于任意{1,2,,2}k n ∈，①若在两种填法中k 都位于同一行，则k 在n nS S '+的表达式中或者只出现在11n n i i i i b b =='+∑∑中，或只出现在11n ni i i i a a =='+∑∑中，且出现两次，则对k 而言，在n nS S '+的结果中得到2k ±．[11分] ②若在两种填法中k 位于不同行，则k 在n nS S '+的表达式中在11n n i i i i b b =='+∑∑与11n ni i i i a a =='+∑∑中各出现一次， 则对k 而言，在n nS S '+的结果中得到0． 由①②得，对于任意{1,2,,2}k n ∈，n nS S '+必为偶数． 所以，对于表格的所有不同的填法，n S 所有可能取值的奇偶性相同．[13分]。