微扰后
v v* v v∗ v∗ v ∇ ⋅ ( H × E0 ) = jωε E ⋅ E0 − jω0 µ H 0 ⋅ H
上式利用了 B ⋅ ∇ × A − A ⋅ ∇ × B = ∇ ⋅ A × B
v
(
v
)
v
(
v
)
(
v
v
)
微波谐振腔
v v v v 对∇ × H 0 = jω0ε E0 和 ∇ × E = − jωµ H 作类似运算
如介质中场是均匀的， 如介质中场是均匀的，则
ω − ω0 ≈− ω0
v 2 v 2 ( ∆ε | E0 | +∆µ | H 0 | ) ∆V
∫
V
(ε E
2
0
+ µ H0
2
) dV
无论在腔中何处放入介质， 无论在腔中何处放入介质，均使受扰腔的谐振频率降低
上式可用来测量
ε r , µr
微波谐振腔
对于有耗介质微扰，上述公式仍然成立， 对于有耗介质微扰，上述公式仍然成立，但 介质常数和谐振频率均要用复数形式代入： 介质常数和谐振频率均要用复数形式代入：
ω − ω0 ∫V ∆ε E0 + ∆µ H 0 dV =− 2 2 ω0 ∫ ε E0 + µ H 0 dV
2 2 V
(
(
)
)
ω − ω0 ∫∆V ∆ε E0 + ∆µ H 0 dV =− 2 2 ω0 ∫ ε E0 + µ H 0 dV
2 2 V
(
(
)
)
（空腔介质微扰公式） 空腔介质微扰公式）
微波谐振腔
l
a
利用介质微扰公式（ ），其分子经过计算得 利用介质微扰公式（6.8-17），其分子经过计算得 ），
∫
∆V
(∆ε | E0 | + ∆µ | H 0 | )dV = (ε r − 1)ε 0 ∫
2 2
x =0 y =0 z =0
∫ ∫
t
l
| E y |2 dxdydz
电场储能为
2 (ε r − 1)ε 0 E101alt = 4 ε0 ε 0 abl 2 * We = ∫∫∫ E y E y dV = E101 4 V 16
V0
微波谐振腔
（6.8-9）式可表示为 6.8-
ω − ω0 ≈ ω0
∫ ∫
∆V
∆V
( (
v 2 µ H0 − ε v 2 µ H0 + ε
v E0 v E0
2
2
) dV ) dV
或
ω − ω 0 ∆ W m − ∆ We ≈ ω0 W
由该式看出， 由该式看出，受微扰的频率变化与腔 体变形的位置有关。假如在腔内磁场较强， 体变形的位置有关。假如在腔内磁场较强， 电场较弱处，腔体表面向内推入， 电场较弱处，腔体表面向内推入，则谐振 频率降低。 频率降低。
微扰前
v v ∇ × E0 = − jω0 µ H 0 v v ∇ × H 0 = jω0ε E0
v v n × E0 = 0
微波谐振腔
v v ∇ × E = − jωµ H v v ∇ × H = jωε E
v v n×E = 0
v v v v v∗ 将 ∇ × H = jωε E 点乘 E0 ，∇ × E0 = − jω0 µ H 0 取共轭后点 v 并相减： 乘 H ，并相减：
（6.8-9） ）
（推导请参见教材） 推导请参见教材）
对于腔壁向外微小拉出，即向外微扰， 对于腔壁向外微小拉出，即向外微扰，其频偏的表达式 与该式反号. 与该式反号
微扰时
v v E ≈ E0
v v H ≈ H0
(6.8-9)式分子 (6.8-9)式分子： 式分子： 利用
r r* r r r* r ∫ ∆s ( H × E0 ) ⋅ nds ≈ ∫ ∆s ( H 0 × E0 ) ⋅ nds r r r r r r ∇ ⋅ ( A × B ) = B ⋅ (∇ × A) − A ⋅ (∇ × B )
式中， 式中，
∆V = πr02 h
是螺钉的体积； 是螺钉的体积；
（6.8-11a）的分母计算结果为 ）
abLε 0 E ∫V (µ0 H + ε 0 E )dV = 2
2 0 2 0
2 101
=
ε0E V
2 101
2
最后得到
ω − ω0 2hπr02 2∆V =− =− abL V ω0
结果表明， 结果表明，螺钉旋入是谐振频率降低
E y = E101 sin Hx =
πx
a
sin
πz
L
− jE 101 πx πz sin cos Z TE a L
j π E101 πx πz Hz = cos sin kZ TEM a a L
螺钉很细，可以假定螺钉处的场为常数，且可用 螺钉很细，可以假定螺钉处的场为常数，且可用x=a/2，z=L/2处的 ， 处的 场来表示： 场来表示：
Ey（a/2,y,L/2）=E101 （ ） Hx(a/2,y,L/2)=0 Hz(z/2,y,L/2)=0
因此，利用腔壁微扰理论公式（ ），其分子计算结果为 因此，利用腔壁微扰理论公式（6.8-11a），其分子计算结果为 ），
∫
∆V
2 2 ( µ 0| H 0 |2 −ε 0 | E0 |2 )dV = −ε 0 ∫ E101dV = −ε 0 E101∆V ∆V
微波谐振腔
微波谐振腔的微扰理论 在实际应用中，常常需要对谐振器的谐振频率进行微调。 在实际应用中，常常需要对谐振器的谐振频率进行微调。
什么是微扰？ 什么是微扰？
在腔内引入金属调谐螺钉、压缩腔壁或放入介质，使腔 在腔内引入金属调谐螺钉、压缩腔壁或放入介质， 内场分布受到微小扰动（称为微扰） 内场分布受到微小扰动（称为微扰）从而引起谐振频率 相应变化。 相应变化。
对于介质微扰的第一种情形
v v E ≈ E0
2
v v H ≈ H0
2
ω ≈ ω0
ω − ω0 ∫V ∆ε E0 + ∆µ H 0 dV =− 2 2 ω0 ∫ ε E0 + µ H 0 dV
V
(
(
)
)
微扰公式） （空腔全填充介质——微扰公式） 空腔全填充介质 微扰公式
微波谐振腔
对于介质微扰的第二种情形： 对于介质微扰的第二种情形： 利用
v v n×E = 0
(在S上） 在 上
微波谐振腔
推导过程与腔壁微扰情况相似， 推导过程与腔壁微扰情况相似，可得
v v∗ v v∗ ω − ω0 ∫V ( ∆ε E ⋅ E0 + ∆µvH ⋅vH0 ) dV =− v v∗ ∗ ω ε E ⋅ E0 + µ H ⋅ H0 ) dV ∫(
V
（请参见教材） 请参见教材）
) dV
微波谐振腔
将上式分为两项： 将上式分为两项：
ω − ω0 ∫∆V = −ε 0 ( ε ′ − 1) 4W ω0
1 1 ∫∆V − = ε 0ε ′′ 2Q 2Q0 4W v 2 | E0 | dV
v 2 | E0 | dV
可见，有耗介质的实部引起谐振频率偏移， 可见，有耗介质的实部引起谐振频率偏移， 虚部引起空腔Q 改变。 虚部引起空腔Q0改变。
[例]半径为 的细金属螺钉从顶壁中央旋入 例 半径为 的细金属螺钉从顶壁中央旋入TE101模式 半径为r0的细金属螺钉从顶壁中央旋入 模式 矩形空气腔内深度h，求微扰后谐振频率变化表示式。 矩形空气腔内深度 ，求微扰后谐振频率变化表示式。
解：
未微扰时TE101模式矩形腔的场分量为 模式矩形腔的场分量为 未微扰时
[例]在腔底放置薄介质板的 例 在腔底放置薄介质板的 在腔底放置薄介质板的TE101模矩形腔，试用微 模矩形腔， 模矩形腔 扰公式计算谐振频率变化表示式。 扰公式计算谐振频率变化表示式。
解：TE101模式矩形腔未微扰时的电场为 模式矩形腔未微扰时的电场为
E y = E101 sin
πx
a
sin
πz
微波谐振腔
结论： 结论：当腔壁内表面或其一部分朝内推入时 ， 如果微扰部分的磁场较强，则频率升高；如 果电场较强，则频率降低。 腔壁向外拉出，其效应与上相反。 腔壁向外拉出，其效应与上相反。
可利用这个特性来对谐振腔进行调谐
微波谐振腔
介质微扰
介质微扰分为两种： 介质微扰分为两种：
一是整个腔中介质常数略有变化(大体积， 一是整个腔中介质常数略有变化(大体积，小ε) ； 二是腔内很小区域内介质常数变化而其余区域介质不变（小体积， 二是腔内很小区域内介质常数变化而其余区域介质不变（小体积， 大ε）。
v∗ v v v ∗ 麦克斯韦方程组出发得 v∗ v ∇ ⋅ ( H 0 × E ) = jωµ H ⋅ H 0 − jω0ε E0 ⋅ E 到的严格表达式 将以上两式相加后对V积分，再应用散度定理，最后得 将以上两式相加后对 积分，再应用散度定理， 积分
ω − ω0 =
∫
V
v v∗ v j ∫ ( H × E0 ) ⋅ ndS ∆S v v∗ v v∗ (ε E ⋅ E0 + µ H ⋅ H 0 ) dV
µ = µ0
∆µ = 0
ε = ε 0 ( ε ′ − jε ′′ )
′ ω0 = ω0 + j
ω0
ω′ = ω + j
ω
2Q0
ω+ j
ω
2Q
− ω0 − j
ω0
2Q0 =
2Q
ω+ j
ω
2Q
−ε 0 ( ε ′ − 1 − jε ′′ ) ∫