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f
(
x,
y)
=
2xm x2 +
y y2
,
(
x,
y)
(0,
0)
，其中
m
为正整数，
a
为实数.
设
f (x, y) 在
a, (x, y) = (0,0)
(0,0) 点处的方向导数的个数为 n ，试讨论 n 与 m 和 a 的关系 .
四、证明题（共 5 小题，共 55 分）
1. （10 分）证明：函数项级数 x e−nx2 在 ¡ 上连续.
arctan(1 tan x)
3. 用含参量积分计算 2 0
2 tan x
dx .
三、讨论分析题（共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分）
考试科目： 709 数学分析
共 2 页，第 1 页
1. 设 k ¡ ，试问 k 为何值时，方程 arctan x − kx = 0无正实根.
2. 已知函数
n=1 n
2. （10 分）证明：第二型曲线积分
L
xdx + ydy ( x2 + y2 )3/2
在区域
D
:
x
0 上与路径无关.
3. （11 分）设函数 f (x) 在[0,3] 上连续，在 (0,3) 内可导，且满足 f (0) + f (1) + f (2) = 3 ，
f (0) 1， f (3) = 1 ，证明：存在 (0,3) ，使得 f ( ) = 0 .
(b > a > 0).
0
x
ä¦
7:´Ä4
n!?Ø©ÛK£ 4 K§ 36©¤
1. £8©¤?ؼêf (x) = |x3|3x = 0?ˆ ê •35§¿¦dy|x=−1, d2y|x=1"
2. £8©¤
∞
ä?ê
(−1)n ln(n + 1) ´ýéÂñ!^‡Âñ„´uÑ
"
n+1
n=0
•Á‰8µ709êÆ©Û£Aò¤
2 •§1 1 •
3.
ˆ £8©¤?؇~È©Φ(α) =
+∞
xα−1 dx
Âñ5"
0 1+x
4. £12©¤?ؼê
xy2
,
f (x, y) = x2 + y2
0,
x2 + y2 = 0, x2 + y2 = 0
3:(0, 0) \g4•!ëY5! ê9Œ‡5"
o!y²K£ 4 K§z K9©§ 36©¤
2020 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（B 卷）
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招生专业：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论、统计学 研究方向：各方向 考试科目名称及代码：709 数学分析
3. 求极限 lim
x 0
(1
+
1)t t
−
e
dt
.
x→+
ln x
4. 求积分 arctan x dx . x (1 + x)
5.
用三重积分求椭球体V
= (x, y, z) ¡
3
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
1,
a,b, c 0 的体积.
二、计算题（共 3 小题，每小题 10 分， 共 30 分）
!OŽK£ 6 K§z K9©§ 54©¤
∞
1. ¦˜?ê n(n + 1)xn Âñ•9Ú¼ê"
n=1
2. rf (x) = −1, x ∈ [−π, 0] Ðm¤Fp“?꧿?ØT?ê
1,
x ∈ (0, π)
¨
3. ¦
e
x−y x+y
dxdy§Ù¥D´dx
=
0,
y
= 0,
x+y
= 1¤Œ«•"
•)5¿µ¤k‰Y7L 3‰K’£ò¤þ§ 3 ÁKþ˜Æ؉©" ˜!OŽK£ 3 K§z K8©§ 24©¤
1. ¦4•lim
arcsin 2x tan x2
√
.
x→0 (e3x − 1)( 1 + x2 − 1)
2.
¦4• lim x→0
ex
− ln(1 + sin2 x
x)
.
ˆ
3. ¦È© x arctan xdx.
+
1. 求幂级数 −x +
xn
的和函数.
n=2 n(n − 1)
2. 已知一元函数 f (h) 在 h0 点可导，设 g(x, y) =
f (h0 + x) − f (h0 − y) 为定义在 D ¡ x+ y
2 上的
二元函数，其中 D 为 ¡ 2 的第一象限. 试用 − 定义求 g 在 D 上当 (x, y) → (0, 0) 时的极限.
D
4.
ˆ ¦È©
1
1 + sin x + x ln(2 + x4) dx.
−1
(1 + x2)2
Âñ5"
5. ¦d•§x2 + 2xy + 2y2 = 1¤(½ Û¼êy = f (x) 7:§¿
Š:§e•4Š:§`²´4Œ„´4 Š:§¿¦éA4Š"
6.
ˆ OŽÈ©
+∞
e−ax2
− e−bx2 dx
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、计算题（共 5 小题，每小题 9 分，共 45 分）
( ) 1.
求极限
lim
n→+
1 n3
12 + 22 + + n2
.
( ) 2. 求极限 lim 2020 x2020 + x2019 − 2020 x2020 − x2019 . x→+
1.
a1
= 0,
an+1
=
1 4
+ a2n,
n = 1, 2, · · ·"y²ê
{an}
4••3§¿¦ÙŠ"
2. y²¼ê‘?ê ∞ 2n sin x 3«m(0, +∞)þؘ—Âñ§ S4˜—Âñ" 3n
4. （12 分）证明：对 x 0, 函数 f (x) = x (t − t2 ) sin2n tdt 有一个上界为
1
.
0
(2n + 3)(2n + 2)
5. （12 分）非极值点的稳定点称为鞍点. 证明：二元函数 f (x, y) = x + y sin x 的全体鞍点组 成的集合与整数集 ¢ 可建立一一映射.