定理 2 设z = f ( x , y )在( x0 , y0 )处有极值且可偏导, 则 r (8.7) ∇ f ( x 0 , y0 ) = 0 或即 f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0 (8.7)'
满足 (8.7 )或(8.7 )' 的点称为 f ( x , y )的驻点.
f ( x , y ) ≥ f ( x 0 , y0 ) 则称f ( x , y )在M 0取得极小值 f ( x0 , y0 ), M 0 ( x0 , y0 )称为 f ( x , y )的极小值点 . 极大值与极小值统称为 极值 , 极大值点与极小值点 统称为极值点 .
如同一元函数 , 首先建立可微函数取得 极值的必要条件 .
∂2 f = − (1 + x + y )− 2 , ∂y 2 ∂k f 一般地 j k − j = ( −1)k −1 ( k − 1)!(1 + x + y )− k , ∂x ∂y
∂k f ( j k − j )( 0 , 0 ) = ( −1)k −1 ( k − 1)! ∂x ∂y
由(8.1)得
+ 2 f xy [ x0 + t ( x − x0 ), y0 + t ( y − y0 )]( x − x0 )( y − y0 ) + f yy [ x0 + t ( x − x0 ), y0 + t ( y − y0 )]( y − y0 )2 ∂ ∂ 2 = [( x − x0 ) + ( y − y0 ) ] f [ x0 + t ( x − x0 ), y0 + t ( y − y0 )], ∂x ∂y
f ′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 2! f ( n) ( x0 ) ( x − x0 )n + Rn ( x) + L+ n!
f (n+1) (ξ ) ( x − x0 )n+1 其中 Rn ( x) = (n + 1)!
则 f ( x , y ) − f ( x0 , y0 ) = ϕ ( x − x0 , y − y0 ) + o( ρ 2 ).
若ϕ ( x − x0 , y − y0 ) ≠ 0, 则在( x0 , y0 )的充分小邻域内 f ( x , y ) − f ( x0 , y0 )的符号与 ϕ ( x − x0 , y − y0 )相同, 所以 若ϕ ( x − x0 , y − y0 )正定 , 则在( x0 , y0 )的充分小邻域内 f ( x , y ) − f ( x 0 , y0 ) ≥ 0, 这时f ( x , y )在( x0 , y0 )处达到极小值 . 若ϕ ( x − x0 , y − y0 )负定 , 则在( x0 , y0 )的充分小邻域内 f ( x , y ) − f ( x 0 , y0 ) ≤ 0, 这时f ( x , y )在( x0 , y0 )处达到极大值 .
之间) (ξ 在 x0与 x之间).
一、 多元函数的 Taylor公式 定理1 设二元函数 f ( x , y )在点( x0 , y0 )对x和y具有直 至n + 1阶连续偏导数 , 则有Taylor公式 1 ∂ ∂ k f ( x , y ) = ∑ [( x − x0 ) + ( y − y0 ) ] f ( x0 , y0 ) ∂x ∂y k =0 k!
即
Rn ( x , y ) = o(ρ n )
n
ρ →0
ρ
(8.5)
∴ f ( x , y )在( x0 , y0 )的Taylor公式也可写成 1 ∂ ∂ k f ( x , y ) = ∑ [( x − x0 ) + ( y − y0 ) ] f ( x0 , y0 ) + o( ρ n ) ∂x ∂y k =0 k! (8.6) 当余项取形式 (8.4)时称为 Lagrange余项,当余项取
必有 f x ( x 0 , y 0 ) = 0 ; 类似地可证
{
}
f y ( x0 , y0 ) = 0 .
[注记 ] 一般地 , 若n元函数 u = f ( x1 , x2 ,L, xn )在点M处有 ∂f ∂f ∂f , ,L , 极值且可偏导 , 则 ∇f ( M ) = = 0. ∂x n M ∂x1 ∂x2
n
(8.2)
计算可得 Φ ′( t ) = f x [ x0 + t ( x − x0 ), y0 + t ( y − y0 )]( x − x0 ) + f y [ x0 + t ( x − x0 ), y0 + t ( y − y0 )]( y − y0 ),
Φ ′′( t ) = f xx [ x0 + t ( x − x0 ), y0 + t ( y − y0 )]( x − x0 )2
n k n n +1
n
(0 < θ < 1)
二、 多元函数的极值
定义 若f ( x , y )在M 0 ( x0 , y0 )的某邻域成立 f ( x , y ) ≤ f ( x 0 , y0 ) 则称f ( x , y )在M 0取到极大值 f ( x0 , y0 ), M 0 ( x0 , y0 )称为 f ( x , y )的极大值点; 类似地 , 若成立
1 k j ln(1 + x + y ) = 0 + ∑ ∑ C k ( −1)k −1 ( k − 1)! x j y k − j k =1 k ! j = 0 1 n +1 j C n+1 ( −1)n n!(1 + θx + θy )− n x j y n+1− j + ∑ ( n + 1)! j =1 1 ( −1) ( x + y) j k −1 j k− j = ∑ ∑ C k ( −1) ( k − 1)! x y + ⋅ k! j =0 n + 1 (1 + θx + θy )n k =1
k
(8.1)
∴ f ( x , y )在( x0 , y0 )的Taylor公式也可写成 1 ∂ ∂ k f ( x , y ) = ∑ [( x − x0 ) + ( y − y0 ) ] f ( x0 , y0 ) + o( ρ n ) ∂x ∂y k =0 k ! (8.2)
n
当余项取形式(8.1)时称为Lagrange余项, 当余项取 形式(8.2)时称为Peano余项.
[证明] 令 Φ( t ) = f [ x0 + t ( x − x0 ), y0 + t ( y − y0 )],0 ≤ t ≤ 1
则 Φ(0) = f ( x0 , y0 ), Φ(1) = f ( x , y )
由一元函数的 Taylor公式 Φ ( k ) ( 0) Φ ( n+1) (θ ) (1 − 0)k + . Φ(1) = ∑ k! ( n + 1)! k =0
第八节 多元函数的Taylor公式与极值 多元函数的 公式与极值
多元函数的Taylor公式 公式 多元函数的 多元函数的极值 函数的最大值与最小值
回顾：一元函数的Taylor公式
泰勒(Taylor)中值定理 x 泰勒(Taylor)中值定理 如果函数f (x) 在含有 0 (Taylor) 阶的导数, 的某个开区间 a, b) 内具有直到 n + 1) 阶的导数,则 ( ( ( 内时, 当x 在(a, b) 内时, f (x) 可以表示为 x − x0 ) 的一个 n次多项式与一个余项Rn (x)之和: 之和:
形式 (8.5)时称为 Peano余项.
例1 : 写出f ( x , y ) = ln(1 + x + y )在(0,0)的Taylor公式 . [解 ] f (0,0) = 0, ∂f = (1 + x + y )−1 , ∂f = (1 + x + y )−1 , ∂x ∂y ∂2 f ∂2 f −2 −2 (1 + x + y ) , = −(1 + x + y ) , 2 = − ∂ x∂ y ∂x
处有极值, 证明 因 z = f ( x , y ) 在点( x 0 , y0 ) 处有极值
故当 y = y0 时一元函数 f ( x , y 0 )在 x = x 0 处有极大值 ， 处有极大值,
r 因此 ∇f ( x0 , y0 ) = f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) = 0.
在(8.1)中多项式 1 ∂ ∂ k Pn ( x , y ) = ∑ [( x − x0 ) + ( y − y0 ) ] f ( x0 , y0 ) ∂x ∂y k =0 k!
n
(8.3)
称为f ( x , y )在( x0 , y0 )处的n阶Taylor多项式 , 而余项为
1 ∂ ∂ n +1 Rn ( x , y ) = [( x − x0 ) + ( y − x0 + θ ( x − x0 ), y0 + θ ( y − y0 )] (8.4) Rn ( x , y ) 2 2 若记 ρ = ( x − x0 ) + ( y − y0 ) , 则有 lim = 0, n
( k = 1,2,L, n),
Φ ( n+1) (θ ) ∂ ∂ n +1 = [( x − x0 ) + ( y − y0 ) ] f [ x0 + θ ( x − x0 ), y0 + θ ( y − y0 )]. ∂x ∂y 代入 (8.2)就得到(8.1)