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水仙花数
水仙花数外文名narcissistic number。

指的是：在自然数中，如果一个三位数等于其自身各个数字的立方和，那么这个三位数就称为“水仙花数”。

后来，水仙花数又发展称为阿姆斯特朗数，是指一个 n 位数( n≥3 )，它的每
个位上的数字的 n 次幂之和等于它本身。

所以就有四位水仙花数、五位水仙花数、六位水仙花数。

等等。

实际上这只是自幂数的一种数。

严格来说三位数的3次幂数才是水仙花数。

（例如：1³+ 5³+ 3³ = 153）
在数论中，水仙花数,也被称为
超完全数字不变数、自恋数、自幂数、阿姆斯壮数或阿姆斯特朗数（Armstrong nmber），用来
描述一个N位非负整数，其各个
位数字的N次方和等于该数本身。

若将条件放宽，一个N位数，其
各个数之M次方和等于该数，(M
和N不一定相等)这样的数称为
完全数字不变量（perfect digital invariant），
水仙花数一定是完全数字不变量，但完全数字不变量不一定是水仙花数。

阿姆斯特朗数只是自幂数的一种，严格来说三位数的3次幂数才成为水仙花数。

其他位数的自幂数名字
一位自幂数：独身数
两位自幂数：没有
三位自幂数：水仙花数
四位自幂数：四叶玫瑰数
五位自幂数：五角星数
六位自幂数：六合数
七位自幂数：北斗七星数
八位自幂数：八仙数
九位自幂数：九九重阳数
十位自幂数：十全十美数
常见的阿姆斯特朗数。

三位的水仙花数共有4个：153，370，371，407；
四位的水仙花数共有3个：1634，8208，9474；
五位的水仙花数共有3个：54748，92727，93084；
六位的水仙花数只有1个：548834；
七位的水仙花数共有4个：1741725，4210818，9800817，9926315；八位的水仙花数共有3个：24678050，24678051
到目前为止，已知的自然数中，只有四个水仙花数，它们分别是： 153、370、371、407
153＝1³＋5³＋3³370＝3³＋7³＋0³371＋3³＋7³＋1³407＝4³＋0³＋7³
完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。

定义:一个自然数等于它的全部约数（不包括本身）的和，这样的自然数称为完全数。

或完备数。

例如：6＝1＋2＋3
从1到1000以内的数中，一共只有三个完全数。

它们分别是：
第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。

第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5
个数相加，1＋2+4+7+14=28。

第三个完全数是496，有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除
去其本身496外，其余9个数相加，
1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。

完全数的特有性质
1。

所有的完全数都是三角形数
例如：
6=1+2+3
28=1+2+3+...+6+7
496=1+2+3+...+30+31 8128=1+2+3…+126+127 2.所有的完全数的倒数都是调和数
例如：
1/1+1/2+1/3+1/6=2
1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+ 1/28=2
1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/3 1+1/62+1/124+1/248+1/496 =2
3.可以表示成连续奇立方数之和
除6以外的完全数，都可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加。

例如：28=1³+3^3
496=1^3+3^3+5^3+7^3
8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3 33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+ 127^3
4.都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和。

不但如此，而且它们的数量为连续质数。

例如：
6=2^1+2^2
28=2^2+2^3+2^4
496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8
8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2 ^12
33550336=2^12+2^13+……+2^24
5.完全数都是以6或8结尾
如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。

（科学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。

）
6.各位数字辗转式相加个位数是1 除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1。

例如：
28：2+8=10，1+0=1
496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1 8128：8+1+2+8=19，1+9=10，
1+0=1
33550336:3+3+5+5+0+3+3＋6=28, 2+8=10, 1+0=1
7.它们被3除余1、被9除余1、1/2被27除余1
除6以外的完全数，它们被3除余1、9除余1、还有1/2被27除余1。

28/3 商9，余1
28/9 商3，余1
28/27 商1，余1
496/3 商165，余1
496/9 商55，余1
8128/3 商2709，余1
8128/9 商903，余1
8128/2=4064, 4064/27 商15，余1
在自然数里，到底有多少完全数呢?有人作过统计：
6=1＋2＋3,
28=1＋2＋4＋7＋14,
496=1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248,
8128=1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋127＋254＋508＋1016
＋2032＋4064.
完全数不多，已初步看到，前一万多个正整数才4个
在1到40000000这么多数里，只有七个完全数，它们是:6，
28，496，8128，130816，2096128，33550336.
可见完全数是非常稀少的.
2015－10－27 更多精彩请点击这里访问。